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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 3.Exercícios Suplementares - Ex. 95

Um sistema k-de-n funciona se, e somente se, pelo menos k dos n componentes individuais do sistema funcionarem. Se os componentes individuais funcionam independentemente um do outro, cada um com probabilidade 0,9, qual é a probabilidade de um sistema 3-de5 funcionar?

Passo 1

Denote com variável aleatória X

X   =   o   n ú m e r o   d e   c o m p o n e n t e s   d e   n   c o m p o n e n t e s   i n d i v i d u a i s

n o   s i s t e m a   e s s a   f u n ç ã o .

É óbvio que a variável aleatória dada segue a Distribuição Binomial. Em um sistema de 3 em 5, os parâmetros para tal distribuição seriam

n = 5 ;

p = 0.9 ,

Função de densidade cumulativa cdf da variável aleatória binomial X com parâmetros n e p é

B x ; n , p = P X   ≤ x =   ∑ y = 0 x b y ; n , p ,   x = 0,1 , … , n .

b x ; n , p =   n x p x 1 - p n - x   , x = 0,1 , 2 , … ,   n 0

O sistema funciona quando X≥3, portanto

P X ≥ 3 = 1 - P X ≤ 2 = 1 - B 2 ; 5,0.9

= 1 - 0.009 = 0.991

Resposta

P   X   ≥ 3   = 0.991

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