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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 31

Sejam X e Y independentes com função de probabilidade G 0,5 . Determine o valor esperado e a variância de:

a) S = X + Y .

b) D = X - Y .

Passo 1

Vamos olhar primeiro para o item (a). Temos que S = X + Y . Portanto,

E S = E X + Y = E X + E Y

Já para a variância:

V a r S = V a r X + Y = V a r X + V a r Y + 2   C o v X ,   Y

Como X e Y são independentes, temos que

C o v X ,   Y = 0

Assim,

V a r S = V a r X + V a r Y

Vamos deixar essa informações guardadas.

Passo 2

Agora vamos olhar para o item (b):

E D = E X - Y = E X + E - Y = E X - E Y

Já para a variância:

V a r D = V a r X + - Y = V a r X + V a r - Y + 2   C o v X ,   - Y

Mas sabemos que

C o v X ,   - Y = - C o v X ,   Y           e           V a r - Y = V a r Y

Assim,

V a r D = V a r X + V a r Y - 2   C o v X ,   Y = V a r X + V a r Y

Passo 3

Com isso, achamos que

E S = E X + E ( Y ) V a r S = V a r X + V a r Y               e               E D = E X - E Y V a r D = V a r X + V a r Y

Mas o enunciado disse que X e Y têm função de probabilidade G 0,5 , isto é, trata-se de uma distribuição geométrica com p = 0,5 :

P X = k = 1 - p n   p

Sabemos que para variáveis que seguem esse tipo de distribuição:

E X = E Y = 1 - p p             e         V a r X = V a r Y = 1 - p p 2

Assim, com p = 0,5 :

E X = E Y = 1 - 0,5 0,5 = 1           e           V a r X = V a r Y = 1 - 0,5 0,5 2 = 0,5 0,25 = 2

Assim,

E S = 1 + 1 = 2

E D = 1 - 1 = 0

V a r S = V a r D = 2 + 2 = 4

Resposta

E S = 2

E D = 0

V a r S = V a r D = 4

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