Enunciado
Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 103
Uma batelada de 500 reservatórios para suco congelado de laranja contém 5 que são defeituosos. Dois são selecionados ao acaso, sem reposição, da batelada. Sejam e os eventos em que o primeiro e o segundo reservatórios selecionados sejam defeituosos, respectivamente.
- Os eventos e são independentes?
- Se a amostragem fosse feita com reposição, e seriam independentes?
Passo 1
Eles nos dão os seguintes eventos:
Usando:
então, o seguinte é verdade:
onde o número de resultados favoráveis em A é 5 porque nós temos 5 reservatórios defeituosos.
Se para dois eventos A e B temos:
dizemos que são independentes. Eles são dependentes de outra forma.
Passo 2
A probabilidade condicional de A dado que o evento B ocorreu, para , é
para quaisquer dois eventos A e B.
Portanto:
Usando a lei da probabilidade total, temos:
Passo 3
Suponha que possamos selecionar o primeiro elemento de um par ordenado em maneiras, e que para cada elemento selecionado podemos selecionar o segundo elemento de maneiras, então temos o número de pares como .
O número de resultados favoráveis na intersecção das ovelhas A e B é
onde e . Isso ocorre porque podemos pegar o primeiro recipiente com defeito de 5 maneiras (5 recipientes diferentes) e o segundo de 4 maneiras (porque escolhemos um na primeira seleção).
O número de resultados no espaço amostral seria calculado da mesma forma como o número de resultados favoráveis, para (na primeira seleção nós temos 500 contêineres) e (porque pegamos um). Portanto:
Nós temos o seguinte
e
Portanto
o que significa que os eventos A e B não são independentes.
Passo 4
Letra b:
Suponha que a amostragem foi feita com reposição. As probabilidades de A e B são agora:
porque o número de resultados favoráveis em ambos os casos seria 5 (amostragem
com substituição). O número de resultados favoráveis na interseção dos eventos A e B é
onde e . Isso ocorre porque podemos pegar o primeiro recipiente defeituoso em 5 jeitos (5 recipientes diferentes) e o segundo em 5 jeitos (porque as amostragens foram feitas com reposição, então ainda existem 5 recipientes defeituosos).
O número de resultados no espaço amostral seria calculado da mesma forma como o número de resultados favoráveis, para (na primeira seleção temos 500 contêineres) e (porque a amostragem foi feita com substituição). Portanto
Passo 5
Nós temos o seguinte
e
Portanto
o que significa que os eventos A e B são independentes.
Resposta
- O que significa que os eventos A e B não são independentes.
- O que significa que os eventos A e B são independentes.