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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 4.4 - Ex. 22

Num cassino, um jogador lança dois dados, cujas probabilidades são proporcionais aos valores das faces. Se sair soma 7 , ganha R $   50 , se sair soma 11 , ganha R $   100 e se sair soma 2 , ganha R $   200 . Qualquer outro resultado ele não ganha nada. Qual é o ganho médio do jogador?

Passo 1

Eai,tudo bem? Bora resolver mais um exercício?

O exercício nos pede para calcularmos o ganho médio do jogador, ou seja, a esperança em termos estatísticos.

Mas antes, para facilitar nossos cálculos, vamos calcular a probabilidade de ocorrência para cada face. Beleza?

Somando as faces temos: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 .

Logo, P x = 1 = 1 21 , P x = 2 = 2 21 , … ,   P x = 6 = 6 21 , em que x representa a face obtida.

Passo 2

Agora, vamos então calcular a probabilidade de ocorrência para as somas 2 , 7,11 no lançamento de 2 dados.

Seja x a face obtida no lançamento do primerio dado, y a face obtida no lançamento do segundo dado e z a variável aleatória que representa a soma dos valores das faces.

Para soma 2 existe um único caso x = 1 , y = 1 .   Assim,

P Z = 2 = P x = 1 , y = 1 = 1 21 × 1 21 = 1 441 .

Para soma 7 existem 6 casos que são:

x = 1 , y = 6 , x = 2 , y = 5 , x = 3 , y = 4 ,   x = 4 , y = 3 , x = 5 , y = 2 ,   x = 6 , y = 1 .

Logo,

P Z = 7 = P x = 1 , y = 6 + P x = 2 , y = 5 + P x = 3 , y = 4 +   P x = 4 , y = 3 + P x = 5 , y = 2 + P x = 6 , y = 1

= 1 21 × 6 21 + 2 21 × 5 21 + 3 21 × 4 21 + 4 21 × 3 21 + 5 21 × 2 21 + 6 21 × 1 21 = 56 441 .

Para soma 11 existem 2 casos x = 5 , y = 6 , x = 6 , y = 5 . Portanto,

P Z = 11 = P x = 5 , y = 6 + P x = 6 , y = 5 = 5 21 × 6 21 + 6 21 × 5 21 = 60 441 .

Passo 3

Assim, construindo uma tabela para a distribuição de Probabilidade temos que:

Logo, temos que:

E Z = ∑ z i × P z i = 200 × 1 441 + 50 × 56 441 + 100 × 60 441 = 9000 441 = 20,408 .

Resposta

Logo, concluímos que E Z = 20,408 .

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