As cinco primeiras repetições de um experimento custam $10,00 cada. Todas as repetições subseqüentes custam $5,00 cada. Suponha que o experimento seja repetido até que o primeiro sucesso ocorra. Se a probabilidade de sucesso de uma repetição é igual a 0,9, e se as repetições são independentes, qual é o custo esperado da operação?

Passo 1

Vamos analisar o enunciado e ver se estamos falando de alguma distribuição? Bom, o enunciado diz que temos um experimento onde temos dois fatores a serem analisados:

- X = número de tentativas

- C = custo dos experimentos

Sabemos que iremos realizar o experimento até que o primeiro sucesso ocorra, ou seja, temos uma DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA, certo?

P X = k = p × 1 - p k - 1 = ( 0,9 ) × 0,1 k - 1

Passo 2

Agora que já sabemos qual é o modelo, vamos entender o que é cada coisa... Se tentarmos até conseguir o primeiro sucesso, todas as alternativas anteriores são fracassos. Ou seja, se tentarmos num total de X tentativas, teremos 1 sucesso e ( x - 1 ) fracassos. Considere:

p = probabilidade de sucesso

(1 – p) = probabilidade de fracasso

Juntando tudo, podemos escrever:

P X = k = p × 1 - p k - 1

Substituindo os valores do enunciado:

P X = k = p × 1 - p k - 1 = ( 0,9 ) × 0,1 k - 1

Passo 3

O enunciado pede o custo esperado, partiu calcular? O cálculo dos custo é feito da seguinte forma:

- 5 primeiras tentativas: $10,00 cada

- Outras tentativas: $5,00 cada.

Assim podemos escrever:

Passo 4

Agora é só substituir e ir para as contas!

E C = 10 × ∑ k = 1 5 P X = k + 5 × ∑ k = 6 ∞ P X = k = 10 × ∑ k = 1 5 ( 0,9 ) × 0,1 k - 1 + 5 × ∑ k = 6 ∞ = ( 0,9 ) × 0,1 k - 1 ≅ 9,99

Resposta

E C ≅ 9,99

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