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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 45

Um clube de estudantes estrangeiros lista como membros dois canadenses, três japoneses, cinco italianos e dois

alemães. Se um comitê de quatro estudantes for selecionado aleatoriamente, determine a probabilidade de que

(a) todas as nacionalidades sejam representadas;

(b) todas as nacionalidades, exceto os italianos, sejam

representadas.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Dado que, o número de canadenses é 2, o número de japoneses é 3, o número de italianos é 5 e o número de alemães é 2.

Número total de membros no clube ( 2 + 3 + 5 + 2 ) = 12 Fazendo X 1 , X 2 , X 3 e X 4 são as variáveis aleatórias que denotam respectivamente o número de canadenses, japoneses, italianos e alemães.

Aqui, e X 1 , X 2 , X 3 em conjunto têm distribuição hipergeométrica multivariada com parâmetro e e X 4 A N = 12 , n = 4 função de massa de probabilidade conjunta de a 1 = 2 , a 2 = 3 , a 3 = 5 a 4 = 2

e X 1 , X 2 , X 3 é dada por, X 4

h x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ; a 1 = 2 , a 2 = 3 , a 3 = 5 , a 4 = 2 ; N = 12 , n = 4   = a 1 x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 a 4 x 4 N n

Passo 2

a) Encontrar a probabilidade de que todas as nacionalidades estão representadas. P   ( todas as nacionalidades estão representadas no comité de 4)

  = P X 1 = 1 , X 2 = 1 , X 3 = 1 , X 4 = 1   = h ( 1,1 , 1,1 ; 2,3 , 5,2 ; N = 12 , n = 4 )   = 2 1 3 1 5 1 2 1 12 4   = 2 ! 1 ! 1 ! × 3 ! 1 ! 2 ! × 5 ! 1 ! 4 ! × 2 ! 1 ! 1 ! 12 ! 4 ! 8 !   = 60 495   = 4 33

Portanto, a probabilidade de que todas as nacionalidades estejam representadas é 4 33

Passo 3

b) Encontre a probabilidade de que todas as nacionalidades, exceto o italiano, estejam representadas.

P (todas as nacionalidades, exceto os italianos, estão representadas)

= X 1 = 2 , X 2 = 1 , X 3 = 0 , X 4 = 1 ∪ X 1 = 1 , X 2 = 2 , X 3 = 0 , X 4 = 1 ∪ X 1 = 1 , X 2 = 1 , X 3 = 0 , X 4 = 2 = E 1 ⋃   E 2 ⋃   E 3

Agora, E 1 , E 2 e E 3 são eventos mutuamente exclusivos.

P (todas as nacionalidades, exceto os italianos, estão representadas)

= P E 1 ∪ E 2 ∪ E 3 = P E 1 + P E 2 + P E 3 = P X 1 = 2 , X 2 = 1 , X 3 = 0 , X 4 = 1 + P X 1 = 1 , X 2 = 2 , X 3 = 0 , X 4 = 1 + P X 1 = 1 , X 2 = 1 , X 3 = 0 , X 4 = 2 = h ( 2,1 , 0,1 ; 2,3 , 5,2 ; N = 12 , n = 4 ) + h ( 1,2 , 0,1 ; 2,3 , 5,2 ; N = 12 , n = 4 ) + h ( 1,1 , 0,2 ; 2,3 , 5,2 ; N = 12 , n = 4 ) = 2 2 3 1 5 0 2 1 12 4 + 2 1 3 2 5 0 2 1 12 4 + 2 1 3 1 5 0 2 2 12 4 = 2 ! 2 ! 0 ! × 3 ! 1 ! 2 ! × 5 ! 0 ! 5 ! × 2 ! 1 ! 1 ! 12 ! 4 ! 8 ! + 2 ! 1 ! 1 ! × 3 ! 2 ! 1 ! × 5 ! 0 ! 5 ! × 2 ! 1 ! 1 ! 12 ! 4 ! 8 ! + 2 ! 1 ! 1 ! × 3 ! 1 ! 2 ! × 5 ! 0 ! 5 ! × 2 ! 2 ! 0 ! 12 ! 4 ! 8 ! = 6 + 12 + 6 495 = 24 495 = 8 165

Resposta

a) 4 33

b) 8 165

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