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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 46

Uma urna contém três bolas verdes, duas azuis e

quatro vermelhas. Em uma amostra aleatória de cinco

bolas, determine a probabilidade de que ambas as bolas

azuis e pelo menos uma vermelha sejam selecionadas

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Número de bolas verdes = 3 Número de bolas azuis = 2 Número de bolas vermelhas = 4

∴ Total Número de bolas na urna = ( 3 + 2 + 4 ) = 9

São X 1 , X 2 & X 3 as variáveis aleatórias que denotam respectivamente os números de bolas verdes, azuis e vermelhas na amostra aleatória de 5 bolas selecionadas aleatoriamente.

∴ X 1 , X 2 & X 3 em conjunto têm uma distribuição hipergeométrica multivariada com parâmetros N = 9 , n = 5 e a 1 = 3 , a 2 = 2 , a 3 = 4

∴ a articulação p.m.f de X 1 , X 2 & X 3 é dada por

h x 1 , x 2 , x 3 ; a 1 = 3 , a 2 = 2 , a 3 = 4 ; N = 9 , n = 5 = a 1 x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 N n ,     com   ∑ i = 1 3     x i = n & ∑ i = 1 3     a i = N

O evento "ambas as bolas azuis e pelo menos 1 bola vermelha entre 5 bolas selecionadas"

≡ X 1 = 2 , X 2 = 2 , X 3 = 1 ⋃   X 1 = 1 , X 2 = 2 , X 3 = 2 ⋃   X 1 = 0 , X 2 = 2 , X 3 = 3 = E 1 ⋃   E 2 ⋃   E 3 ,  (say) 

Agora E 1 , E 2 , E 3 são eventos mutuamente exclusivos ∴ P (bolas azuis e pelo menos 1 bola vermelha entre 5 bolas selecionadas)

Passo 2

= P E 1 ⋃ E 2 ⋃ E 3 = P E 1 + P E 2 + P E 3   ∵ E 1 , E 2 , E 3 são eventos mutuamente exclusivos ] = P X 1 = 2 , X 2 = 2 , X 3 = 1   + P X 1 = 1 , X 2 = 2 , X 3 = 2   + P X 1 = 0 , X 2 = 2 , X 3 = 3 = h ( 2,2 , 1 ; 3,2 , 4 ; N = 9 , n = 5 ) + h ( 1,2 , 2 ; 3,2 , 4 ; N = 9 , n = 5 ) + h ( 0,2 , 3 ; 3,2 , 4 ; N = 9 , n = 5 ) = 3 2 2 2 4 1 9 5 + 3 1 2 2 4 2 9 5 + 3 0 2 2 4 3 9 5 = 3 ! 2 ! 1 ! × 2 ! 2 ! 0 ! × 4 ! 1 ! 3 ! 9 ! 5 ! 4 ! + 3 ! 1 ! 2 ! × 2 ! 2 ! 0 ! × 4 ! 2 ! 2 ! 9 ! 5 ! 4 ! + 3 ! 0 ! 3 ! × 2 ! 2 ! 0 ! × 4 ! 3 ! 1 ! 9 ! 5 ! 4 ! = 12 + 18 + 4 126 = 34 126 = 17 63 = 0.26984127 = 0.2698

Resposta

0.2698

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