Compare S 2 e S ’12 (veja o Exercício 9.1), os dois

estimadores de rr2, para determinar qual é mais eficiente. Assuma que eles são estimadores encontrados usando X ]y X 2> ..., Xn, variáveis aleatórias independentes de

n(x; }iy (r). Qual estimador é mais eficiente considerando-se somente a variância dos estimadores? [Sugestão:

Use o Teorema 8.4 e a Seção 6.8, na qual aprendemos

que a variância de X~v é 2v.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Considere, a definição de variância da amostra que é obtida como,

S 2 = 1 n - 1 ∑ i = 1 n   X i - X ‾ 2 . . . ( 1 )

De (Exercício 9.29)

S ' 2 = 1 n ∑ i = 1 n   X i - X ‾ 2 . . . ( 2 ) Agora, usando o Teorema 8.4:Se é a variância de S 2 uma amostra aleatória de tamanho n tomada da população normal tendo variância, σ 2 então a estatística,

χ 2 = ( n - 1 ) S 2 σ 2 . . . ( 3 )

tem uma distribuição qui-quadrada com v = n - 1 grau de liberdade. E também, a variância de χ v 2 = 2 v . Onde S 2 = 1 n - 1 ∑ i = 1 n   X i - X ‾ 2 Agora, se a variância da amostra é (1), that é

S 2 = 1 n - 1 ∑ i = 1 n   X i - X ‾ 2

Em seguida, usando (3):

χ v   2 = ( n - 1 ) σ 2 × 1 n - 1 ∑ i = 1 n     X i - X ‾ 2 χ v   2 = 1 σ 2 × ∑ i = 1 n     X i - X ‾ 2 . . . ( 4 )

Passo 2

Agora, se a variância da amostra for (2), isso é

S ' 2 = 1 n ∑ i = 1 n   X i - X ‾ 2

Em seguida, usando (4),

χ v 2 = 1 σ 2 × ∑ i = 1 n   X i - X ‾ 2

Dividindo ambos os lados por n ,

χ v   2 × 1 n = 1 σ 2 × 1 n ∑ i = 1 n     X i - X ‾ 2 χ v   2 n = 1 σ 2 × S 2    [since  S ' 2 = 1 n ∑ i = 1 n     X i - X ‾ 2 S ' 2 = χ v   2 σ 2 n . . . ( 5 )

E de (3), χ v   2 = ( n - 1 ) S 2 σ 2 Daí,

S 2 = χ v   2 σ 2 n - 1 . . . ( 6 )

Passo 3

Usando a definição de estimador eficiente, que afirma que entre um número de estimadores da mesma classe, o estimador com menor variância é chamado de estimador eficiente. Assim, se houver dois estimadores e S 2 com variância S ' 2 e V a r ⁡ S 2 V a r ⁡ S ' 2 respectivamente. Então a razão das variâncias de dois estimadores é denotada por e S 2 , S ' 2 é conhecida como eficiência.

e S 2 , S ' 2 = V a r ⁡ S 2 V a r ⁡ S ' 2 . . . ( 7 )

Passo 4

Agora, calculando as variâncias,

V a r ⁡ S 2 = V a r ⁡ χ v   2 σ 2 n - 1

Desde a variância de χ v 2 = 2 v , onde v = n - 1 o grau de liberdade. Assim, V a r ⁡ S 2 = 2 v × σ 2 n - 1 da mesma forma, para, V a r ⁡ S 2 , V a r ⁡ S ' 2 = 2 v × σ 2 n [desde que ambos S 2 e S ' 2 do mesmo espaço populacional]Agora, using (7),

e S 2 , S ' 2 = V a r ⁡ S 2 V a r ⁡ S ' 2 e S 2 , S ' 2 = 2 v × σ 2 n - 1 2 v × σ 2 n  for  n > 1 e S 2 , S ' 2 = n ( n - 1 ) > 1

uma vez que, esta proporção é mais de um. portanto, S 2 será mais eficiente estimador do que S 2 .

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados