Enunciado
Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 23
Compare S 2 e S ’12 (veja o Exercício 9.1), os dois
estimadores de rr2, para determinar qual é mais eficiente. Assuma que eles são estimadores encontrados usando X ]y X 2> ..., Xn, variáveis aleatórias independentes de
n(x; }iy (r). Qual estimador é mais eficiente considerando-se somente a variância dos estimadores? [Sugestão:
Use o Teorema 8.4 e a Seção 6.8, na qual aprendemos
que a variância de X~v é 2v.
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
Considere, a definição de variância da amostra que é obtida como,
De (Exercício 9.29)
Agora, usando o Teorema 8.4:Se é a variância de uma amostra aleatória de tamanho tomada da população normal tendo variância, então a estatística,
tem uma distribuição qui-quadrada com grau de liberdade. E também, a variância de . Onde Agora, se a variância da amostra é (1), that é
Em seguida, usando (3):
Passo 2
Agora, se a variância da amostra for (2), isso é
Em seguida, usando (4),
Dividindo ambos os lados por ,
E de (3), Daí,
Passo 3
Usando a definição de estimador eficiente, que afirma que entre um número de estimadores da mesma classe, o estimador com menor variância é chamado de estimador eficiente. Assim, se houver dois estimadores e com variância e respectivamente. Então a razão das variâncias de dois estimadores é denotada por é conhecida como eficiência.
Passo 4
Agora, calculando as variâncias,
Desde a variância de , onde o grau de liberdade. Assim, da mesma forma, para, , [desde que ambos e do mesmo espaço populacional]Agora, using (7),
uma vez que, esta proporção é mais de um. portanto, será mais eficiente estimador do que .
Resposta
Resposta nos passos.