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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 12

Mostre que se X i ,   i = 1 , … , n , são variáveis aleatórias independentes com distribuição normal com parâmetros μ i   e   σ i , i = 1 , … , n , respectivamente, então ∑ i = 1 n X i é normalmente distribuída com parâmetros ∑ i = 1 n μ i       e       ∑ i = 1 n σ i 2 .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de probabilidade do Dantas ele pede para mostra que se X i ,   i = 1 , … , n , são variáveis aleatórias independentes com distribuição normal com parâmetros μ i   e   σ i , i = 1 , … , n , respectivamente, então ∑ i = 1 n X i é normalmente distribuída com parâmetros ∑ i = 1 n μ i       e       ∑ i = 1 n σ i 2 .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha, resumidamente nessa questão ele deseja mostrar que X i ,   i = 1 , … , n são variáveis aleatórias independentes tendo sido dado que,

∑ i = 1 n X i

Temos que substituindo ∑ i = 1 n X i temos,

E ∑ i = 1 n X i - X - 2 = E ∑ i = 1 n X i 2 - 2 n x - 2 + n x - 2

E ∑ i = 1 n X i - X - 2 = E ∑ i = 1 n ( X i 2 - n x - 2 )

E ∑ i = 1 n X i - X - 2 = ∑ i = 1 n E [ X i 2 ] - n E [ X - 2 ]

Como eles nos deu que,

∑ i = 1 n μ i       e       ∑ i = 1 n σ 2

Temos,

E ∑ i = 1 n X i - X - 2 = n . σ 2 + μ 2 - n . σ 2 n + μ 2

E ∑ i = 1 n X i - X - 2 = n σ 2 + n μ 2 - σ 2 - n μ 2

E ∑ i = 1 n X i - X - 2 = n - 1 σ 2

Portanto temos que,

E ∑ i = 1 n X i - X - 2 = n - 1 . σ 2

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

E ∑ i = 1 n X i - X - 2 = n - 1 . σ 2

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