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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 34

Considere a variável combinada t

que possui distribuição t com m + n 2 gl quando ambas as distribuições das populações são normais com 1 2 (veja a subseção Procedimentos combinados t para obter uma descrição de Sp). a. Use esta variável t para obter a fórmula de um intervalo de confiança combinado t para 1 2. b. Uma amostra de umidificadores ultrassônicos de uma marca específica foi selecionada, à qual as observações sobre a saída máxima de umidade (oz) em uma câmara controlada eram 14,0, 14,3, 12,2 e 15,1. Uma amostra da segunda marca forneceu os valores 12,1, 13,6, 11,9 e 11,2 ("Multiple Comparisons of Means Using Simultaneous Confidence Intervals," J. of Quality Technology, 1989, p. 232-241). Use a fórmula combinada t da parte (a) para estimar a diferença entre as saídas médias reais das duas marcas com um intervalo de confiança de 95%. c. Estime a diferença entre os dois s, usando o intervalo t de duas amostras discutido nesta seção, e compare-o ao intervalo da parte (b),

Passo 1

  1. Dado

    2. T = X - - Y - - μ 1 - μ 2 S p 1 m + 1 n

    O valor t é a estatística de teste diminuída pela média, dividida pelo desvio padrão:

    E X - - Y - =   μ 1 - μ 2

    V X - - Y - = S p 1 m + 1 n

    Os limites do intervalo de confiança são então a estatística de teste diminuída/aumentada pelo produto do valor t crítico e a variância da estatística de teste:

    X - - Y - ± t α 2 S P 1 m + 1 n

    Passo 2

  2. A média é a soma de todos os valores dividido pelo número de valores:

    3. x 1 - = 14 + 14.3 + 12.2 + 15.1 4 ≈ 13.9

    x 2 - = 12.1 + 13.6 + 11.9 + 11.2 4 ≈ 12.2

    A variância é a soma dos desvios quadrados da média dividida por n-1. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

    s 1 =   14.0 - 13.9 2 + … + 14.0 - 13.9 2 4 - 1   ≈ 1.2247

    s 2 =   12.1 - 12.2 2 + … + 11.2 - 12.2 2 4 - 1 ≈ 1.0100

    Determine o desvio padrão combinado:

    Determine o valor t olhando na linha começando com graus de liberdade d f = n _ 1 + n _ 2 - 2 = 4 + 4 - 2 = 6 e na coluna com 1 - c / 2 = 0 . 025 na tabela de distribuição t de Student no apêndice:

    t α 2 = 2.447

    A margem de erro é então:

    E = t α 2 S p 1 n 1 + 1 n 2 = 2.447 ∙ 1.1225 1 4 + 1 4 ≈ 1.9423

    Os pontos finais do intervalo de confiança para μ 1 - μ 2 são:

    x 1 - - x 2 - - E = 13.9 - 12.2 - 1.9426 = 1.7 - 1.9423 = - 0.2423

    x 1 - - x 2 - + E = 13.9 - 12.2 + 1.9426 = 1.7 + 1.9423 = 3.6423

  3. Determine os graus de liberdade (arredondados para o inteiro mais próximo):

∆   = s 1 2 n 1 + s 2 2 n 2 2 s 1 2 n 1 2 n 1 - 1 + s 2 2 n 2 2 n 2 - 1 = 1.2247 2 4 + 1.0100 2 4 2 1.2247 2 4 2 4 - 1 ≈ 5

Determine o valor t olhando na linha começando com graus de liberdade df=5 e na coluna com 1 - c / 2 = 0 . 025 na tabela de distribuição t de Student no apêndice:

t α 2 = 2.571

Os pontos finais do intervalo de confiança para μ 1 - μ 2 são:

x 1 - - x 2 - - E = 13.9 - 12.2 - 1.9426 = 1.7 - 2.0407 = - 0 . 3 4 07

x 1 - - x 2 - + E = 13.9 - 12.2 + 2.0407 = 1.7 + 2.0407 = 3 . 7 4 07

Notamos que esse intervalo de confiança é um pouco maior do que o intervalo de confiança encontrado na parte (b).

Resposta

  1. X - - Y - ± t α 2 S P 1 m + 1 n
  2. - 0.2423,3.6423
  3. ( - 0.3407,3.7407 ) . Notamos que esse intervalo de confiança é um pouco maior do que o intervalo de confiança encontrado na parte (b).

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