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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 6

Dada a variável aleatória X com distribuição de probabilidade

f(x) = [ 2x' 0

J \0, caso contrário,

determine a distribuição de probabilidade de Y = SX3

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A distribuição de probabilidade para a variável aleatória contínua X é,

f ( x ) = 2 x , 0 < x < 1 0 ,   restante  

Passo 2

Encontre a distribuição de probabilidade de Y = 8 X 3 .

A solução inversa de y = 8 x 3 é,

y = 8 x 3   ⇒ x 3 = y 8   ⇒ x = y 8 1 3   ⇒ x = y 2 3 1 3   ⇒ x = y 3 2

Os limites de y são,

Se x = 0 então y = 8 x 3 = 8 ( 0 ) 3 = 0 . Se x = 1 então y = 8 x 3 = 8 ( 1 ) 3 = 8 .

A transformação jacobiana é,

| J |   = d x d y   = d d y y 3 2   = 1 2 × 1 3 y - 2 3   = 1 6 × y 2 3

Passo 3

A distribuição de probabilidade da variável aleatória Y é,

g ( y )   = f ( x ) | J |   = f y 3 2 1 6 × y 2 3   = 2 y 3 2 1 6 × y 2 3   = 1 6 × y 3

Portanto, a distribuição de probabilidade da variável aleatória Y é,

g ( y ) = 1 6 × y 3 , 0 < y < 8 0 ,   restante  

Resposta

g ( y ) = 1 6 × y 3 , 0 < y < 8 0 ,   restante  

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