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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 46

Determine a covariância das variáveis aleatórias X e Y do Exercício 3.44.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. No Exercício 3.44, nós encontramos que a distribuição de probabilidade conjunta é dada pela fórmula a seguir:

f x , y = 3 3920000 x 2 + y 2 ,                 30 ≤ x < 50 ,         30 ≤ y < 50 0 ,                                                                                                     c a s o   c o n t r á r i o

E a covariância nós vamos encontrar pela fórmula abaixo:

σ X Y = E X Y - μ X μ Y

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Primeiro, precisamos definir as distribuições marginais para X e Y .

A distribuição marginal da variável X é:

g x = ∫ y f ( x ,   y ) d y

= ∫ 30 50 3 3920000 x 2 + y 2 d y

= 3 3920000 x 2 y + y 3 3 30 50

= 3 3920000 50 x 2 + 125000 3 - 3 3920000 30 x 2 + 9000

g x = 3 x 2 196000 + 1 40

E a distribuição marginal da variável Y é:

h y = ∫ x f ( x ,   y ) d x

= ∫ 30 50 3 3920000 x 2 + y 2 d x

= 3 3920000 x y 2 + x 3 3 30 50

= 3 3920000 50 y 2 + 125000 3 - 3 3920000 30 y 2 + 9000

h y = 3 y 2 196000 + 1 40

Passo 3

Sendo assim, podemos definir as médias das variáveis.

A média da variável X é definida por:

μ X = ∫ x x g ( x ) d x

= ∫ 30 50 x 3 x 2 196000 + 1 40 d x

= ∫ 30 50 3 x 3 196000 + x 40 d x

= 3 x 4 784000 + x 2 80 30 50

μ X = 40,82

E a média da variável Y é:

μ Y = ∫ y y h ( y ) d y

= ∫ 30 50 y 3 y 2 196000 + 1 40 d y

= ∫ 30 50 3 y 3 196000 + y 40 d y

= 3 y 4 784000 + y 2 80 30 50

μ Y = 40,82

Passo 4

O que nos resta para podermos encontrar a covariância é achar o valor esperado de X Y , que é definido por:

E X Y = ∫ x ∫ y x y f x , y

= ∫ 30 50 ∫ 30 50 x y ∙ 3 3920000 ( x 2 + y 2 ) d x d y

= ∫ 30 50 3 x 3 y 2 7840000 + 3 x y 4 15680000 30 50 d x

= ∫ 30 50 3 x 3 4900 + 51 x 49 d x

= 3 x 4 19600 + 51 x 2 98 30 50

E X Y = 1665,3

Por fim, podemos encontrar a covariância pela fórmula do Passo 1.

σ X Y = E X Y - μ X μ Y = 1665,3 - 40,82 40,82 = - 0,97

Resposta

σ X Y = - 0,97

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