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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 50

Num laboratório, se um equipamento está funcionando, a função de densidade do resultado observado,   X ,é

f x = 2 1 - x ,                     0 < x < 1 0 ,                             c a s o   c o n t r á r i o

Determine a variância e o desvio-padrão de X .

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Nós usaremos a fórmula a seguir para encontrar a variância:

σ X 2 = E X 2 - μ X 2

E lembrando, que o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

σ X = σ X 2

Mas, antes precisamos encontrar o valor esperado e E ( X 2 ) , para isso vamos usar as fórmulas abaixo:

μ X = E X = ∫ x x f ( x ) d x

E X 2 = ∫ x x 2 f ( x ) d x

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

O intervalo de x dado pelo enunciado é entre 0 e 1 , logo, o valor esperado é:

μ X = ∫ 0 1 x 2 ( 1 - x ) d x

= 2 ∫ 0 1 ( x - x 2 ) d x

= 2 1 2 x 2 - 1 3 x 3 0 1

= 2 1 2 - 1 3

μ X = 1 6

E o valor de E ( X 2 ) encontramos de forma similar:

E X 2 = ∫ 0 1 x 2 2 ( 1 - x ) d x

= 2 ∫ 0 1 ( x 2 - x 3 ) d x

= 2 x 3 3 - x 4 4 0 1

= 2 1 3 - 1 4

E X 2 = 1 6

Por fim, podemos usar as fórmulas do Passo 1 para achar a variância:

σ X 2 = E X 2 - μ X 2 = 1 6 - 1 3 2 = 1 6 - 1 9 = 1 18

Como o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância, temos:

σ X = 1 18 = 2 6

Resposta

σ X 2 = 1 18

σ X = 2 6

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