(a) Determine a média e a variância do consumo diário de água do Exercício 6.40.

(b) De acordo com o teorema de Chebyshev, há uma probabilidade de pelo menos 3/4 de que o consumo de água em qualquer dia escolhido esteja em qual intervalo?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Vamos usar a variável aleatória X para representar o consumo diário de água que segue aproximadamente uma distribuição gama com parâmetros α = 2 e β = 3 .

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Nós precisamos encontrar a média e a variância do consumo diário de água.

Em uma distribuição gama com parâmetros α e β , a média é dada por μ = α β .

Logo, a média da variável aleatória X é:

μ = α β = 2 3 = 6

E a variância é definida por:

V X = α β 2

Sendo assim, seu valor para esse exemplo é:

V X = α β 2 = 2 3 2 = 18

Passo 3

O teorema de Chebyshev é dado por:

P μ - k σ < X < μ + k σ ≥ 1 - 1 k 2

De acordo com o teorema de Chebyshev, a probabilidade de uma variável aleatória assumir um valor dentro de 2 desvios padrão da média é de pelo menos 3 / 4 .

x 1 = μ - 2 σ = 6 - 2 4,2426 = 6 - 8,4853 = - 2,4853

x 2 = μ + 2 σ = 6 + 2 4,2426 = 6 + 8,4853 = 14,4853

Sendo assim, os intervalos necessários são de - 2,4853 até 14,4853 .

Resposta

a) μ = 6 e V X = 18

b) De - 2,4853 até 14,4853

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