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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 60

60. Seja X a distância (m) que um animal viaja desde seu local de nascimento até o primeiro local vago que encontra. Suponha que, para ratos-cangurus de rabo de bandeira, X possui uma distribuição exponencial com parâmetro λ = 0,01386 (como sugerido no artigo “Competition and Dispersal from Multiple Nests,” Ecology, 1997, p. 873-883).

a) Qual é a probabilidade de a distância ser no máximo 100 m? No máximo 200 m? Entre 100 e 200 m?

b) Qual é a probabilidade de a distância exceder a média por mais de 2 desvios padrão?

c) Qual é o valor da mediana da distância?

Passo 1

Fala galerinha boa? Tudo bem com vocês? Vamos realizar mais um exercício sobre Distribuição Exponencial.

Na letra a, queremos a probabilidade de a distância ser no máximo 100 m:

P X ≤ 100 = 1 - e - 1 00 0,01386 = 1 - e - 1,386 = 0 , 7499

Também queremos a probabilidade de a distância ser no máximo 200 m:

P X ≤ 2 00 = 1 - e - 2 00 0,01386 = 1 - e - 2,772 = 0 , 9375

E a probabilidade da distância estar entre 100 e 200 m:

P 100 ≤ X ≤ 200 = P X ≤ 200 - P X ≤ 1 00 = 0,9 375 - 0,7499 = 0,1876

Passo 2

Na letra b, a probabilidade de a distância exceder a média por mais de 2 desvios padrão.

A média e o desvio padrão são:

μ = 1 0,01386 = 72,15   e   σ = 72,15

A probabilidade vai ser:

P X > μ + 2 σ = P X > 72,15 + 2 * 72,15 = P X > 216,45 = 1 - 1 - e - 216,45 * 0,01386

P X > μ + 2 σ = e - 2,9999 = 0,0498

Passo 3

Na letra c, queremos o valor da mediana da distância:

0,5 = P X ≤ M d

0,5 = 1 - e - M d 0,01386

0,5 = e - M d 0,01386

- M d * 0,01386 = ln ⁡ 0,5 = 0,693

M d = 50

Valeu, moçada! Até a próxima!

Resposta

a) 0,7499; 0,9375; 0,1876

b) 0,0498

c) 50

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