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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 44

Determine a médica e avariada da variável aleatória do Exercício 3-18.

Passo 1

Vamos começar calculando as seguintes derivadas:

d d y ( y - x ) = - x y - x - 1

d 2 d y 2 ( y - x ) = d d y ( - x y - x - 1 ) = ( x 2 + x ) y - x - 2

A seguir, observamos (sem justificar a permutabilidade de somas e derivativos):

∑ x = 0 ∞ 3 x y - x - 1 = - 3 ∑ x = 0 ∞ ( - x ) y - x - 1 = - 3 ∑ x = 0 ∞ d d y ( y - x ) = - 3 d d y ∑ x = 0 ∞ ( y - x ) = - 3 d d y ∑ x = 0 ∞ ( 1 y ) x =

= - 3 d d y ( 1 1 - 1 y ) = 3 × ( 1 - 1 y ) - 2 y - 2 = 3 ( y - 1 ) 2

∑ x = 0 ∞ 3 x 2 y - x - 1 = ∑ x = 0 ∞ 3 ( x 2 + x ) y - x - 1 - 3 ∑ x = 0 ∞ x y - x - 1 = 3 y ∑ x = 0 ∞ 3 ( x 2 + x ) y - x - 2 - 3 ( y - 1 ) 2 =

= 3 y d 2 d y 2 ∑ x = 0 ∞ ( 1 y ) x - 3 ( y - 1 ) 2 = 3 y d 2 d y 2 ( 1 1 - 1 y ) - 3 ( y - 1 ) 2 = 6 y ( y - 1 ) 3 - 3 ( y - 1 ) 2

Passo 2

Vamos lembrar da função de massa de probabilidade do exercício 3-18:

f ( x ) = 3 4 x + 1 ,   x ∈ { 0,1 , 2 , . . . }

Inserindo y = 4 nas expressões obtidas acima e usando definições de média e variância temos:

O valor esperado (ou médio) μ é a soma do produto de cada possibilidade x com sua probabilidade P ( x ) :

E ( X ) = 3 ( 4 - 1 ) 2 = 1 3

Passo 3

A variância é o valor esperado do desvio ao quadrado da média:

E ( X 2 ) = 6 × 4 ( 4 - 1 ) 3 - 1 3 = 15 27 = 3 9

V a r ( X ) = E ( X 2 ) - E ( X ) 2 = 4 9

Resposta

m é d i a :   1 / 3

V a r i â n c i a : 4 / 9

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