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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 26

A lâmina e os mancais são importantes peças de um torno mecânico. Torno pode operar somente quando as duas pessoas trabalharem apropriadamente. Para um tipo de torno, o tempo da vida da lâmina é distribuído exponencialmente, com média igual a três anos; o tempo de vida dos mancais e também com distribuído exponencialmente, com média = 4 anos. Considere que o tempo de vida seja independente.

  1. Qual é a probabilidade de eu torno operar no mínimo por cinco anos?
  2. Qual é o tempo de vida que tornou a sede com a probabilidade de 95%?

Passo 1

Seja X o tempo de vida da lâmina e Y o tempo de vida dos mancais. Então X tem uma distribuição exponencial com média E X = 1 λ 1 = 3 anos e Y tem uma distribuição exponencial com média

E X = 1 λ 2 = 4 anos.

As variáveis ​​aleatórias X e Y são independentes. Portanto,

λ 1 = 1 3 , λ 1 = 1 4 ,

a função de densidade de probabilidade de X é:

f 1 ( x ) = λ 1 e - λ 1 x

= 1 3 e - x 3 , x ≥ 0 ,

e a função de densidade de probabilidade de Y é:

f 2 ( y ) = λ 2 e - λ 2 y =

= 1 4 e - y 4 ,   y ≥ 0 .

Passo 2

Letra a:

Seja Z a vida útil do torno. O torno vai operar por pelo menos cinco anos apenas se a lâmina e os mancais funcionarem corretamente por pelo menos cinco anos. Portanto

P ( Z ≥ 5 ) = P ( X ≥ 5 , Y ≥ 5 ) .

Como X e Y são independentes, a probabilidade de o torno operar por pelo menos cinco anos é:

P ( Z ≥ 5 ) = P ( X ≥ 5 , Y ≥ 5 ) = 0.0541

Passo 3

Letra b:

Seja o tempo de vida x. Então, a probabilidade de que o tempo de vida de Z exceda x é de 95%, ou seja,

P ( Z ≥ x ) = 0.95

Portanto,

P ( Z ≥ x ) = P ( X ≥ x , Y ≥ x ) . = e x 3 + x 4

Portanto, da primeira equação, concluímos que a vida útil do torno excede 0.88 anos com 95% de probabilidade é

e - ( x 3 + x 4 ) = 0.95

x = 0.88

Resposta

  1. 0.0541
  2. 0.88
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