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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 21

Determine o valor de c que torna a função uma função densidade de probabilidade conjunta ao longo da faixa.

Determine o seguinte:

Passo 1

Temos o seguintes dados:

f ( x , y ) = c e - 2 x - 3 y 0 < x x < y

Primeiro, precisamos determinar c:

∫ 0 + ∞   ∫ x + ∞   f ( x , y ) d y d x = ∫ 0 + ∞   ∫ x + ∞   c e - 2 x - 3 y d y d x = c 15

A integral sobre todos os valores possíveis de x e y deve ser igual a 1:

c 15 = 1

Resolvendo para c:

c = 15

A função de densidade de probabilidade conjunta então se torna:

f ( x , y ) = 15 e - 2 x - 3 y

Passo 2

Letra a:

A probabilidade é a integral de f ao longo dos intervalos dados:

P ( X < 1 , Y < 2 ) = ∫ 0 1   ∫ x 2   15 e - 2 x - 3 y d y d x

= 1 - 1 e 5 - 5 - 1 + e 2 2 e 8 ≈ 0.9879

Passo 3

Letra b:

A probabilidade é a integral de f ao longo dos intervalos dados:

P ( 1 < X < 2 ) = ∫ 1 2   ∫ x + ∞   15 e - 2 x - 3 y d y d x

= - 1 + e 5 e 10 ≈ 0.0067

Passo 4

Letra c:

A probabilidade é a integral de f ao longo dos intervalos dados:

P ( Y > 3 ) = P ( 0 < X , 3 < Y )

= ∫ 0 + ∞   ∫ 3 ∞   15 e - 2 x - 3 y d y d x = 5 2 e 9 ≈ 0.0003

Passo 5

Letra d:

A probabilidade é a integral de f ao longo dos intervalos dados:

P ( X < 2 , Y < 2 ) = ∫ 0 2   ∫ x 2   15 e - 2 x - 3 y d y d x

= 1 + 3 2 e 10 - 5 2 e 6 ≈ 0.9939

Passo 6

Letra e:

O valor esperado μ   é a soma do produto de cada possibilidade x com sua probabilidade P ( x ) :

E ( X ) = ∫ 0 + ∞   ∫ x + ∞   15 x e - 2 x - 3 y d y d x = 1 5 ≈ 0.2

Passo 7

Letra f:

O valor esperado μ   é a soma do produto de cada possibilidade x com sua probabilidade P ( x ) :

E ( Y ) = ∫ 0 + ∞   ∫ x + ∞   15 y e - 2 x - 3 y d y d x = 8 15 ≈ 0.5333

Passo 8

Letra g:

A distribuição marginal de X é f integrada sobre todos os valores potentes de Y:

f X ( x ) = ∫ x + ∞   15 e - 2 x - 3 y d y = 5 e - 5 x

Passo 9

Letra h:

A distribuição condicional é a distribuição de probabilidade conjunta dividida pela distribuição marginal:

f Y ∣ x = 1 ( y ) = f X Y ( 1 , y ) f Y ( 1 ) = 15 e - 2 ( 1 ) - 3 y 5 e - 5 ( 1 ) = 3 e 3 - 3 y

Passo 10

Letra i:

O valor esperado μ   é a soma do produto de cada possibilidade x com sua probabilidade P ( x ) :

E ( Y ∣ X = 1 ) = ∫ 1 + ∞   y f Y ∣ x = 1 ( y ) d y

= ∫ 1 + ∞   y 3 e 3 - 3 y d y = 4 3 ≈ 1.3333

Passo 11

Letra j:

A probabilidade condicional é a integral da distribuição condicional durante o intervalo determinado:

P ( Y < 2 ∣ X = 1 ) = ∫ 1 2   3 e 3 - 3 y d y

1 - 1 e 3 ≈ 0.9502

Passo 12

Letra k:

A distribuição marginal de X é f integrada sobre todos os valores potentes de Y:

f Y ( y ) = ∫ 0 + ∞   15 e - 2 x - 3 y d x = 15 e - 3 y 2

A distribuição condicional é a distribuição de probabilidade conjunta dividida pela distribuição marginal:

f X ∣ y = 2 ( x ) = f X Y ( x , 2 ) f Y ( 2 ) = 15 e - 2 x - 3 ( 2 ) 15 e - 3 ( 2 ) / 2 = 2 e - 2 x

Resposta

a. 0.9879

b. 0.0067

c. 0.0003

d. 0.9938

e. 0.2

f. 0.5333

g. f X ( x ) = 5 e - 5 x

h. f Y ∣ x = 1 ( y ) = 3 e 3 - 3 y

i. 1.3333

j. 0.9502

k. f X ∣ y = 2 ( x ) = 2 e - 2 x

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