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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 61

61. Diversas experiências com determinado tipo de ventilador, usados em motores a diesel, indicam que a distribuição exponencial sugere um bom modelo para cálculo do tempo até uma falha. Suponha que o tempo médio seja 25.000 horas. Qual é a probabilidade de:

a) um ventilador selecionado aleatoriamente durar pelo menos 20.000 horas? No máximo 30.000 horas? Entre 20.000 e 30.000 horas?

b) o tempo de vida de um ventilador exceder o valor médio em mais de 2 desvios padrão? Mais de 3 desvios padrão?

Passo 1

Fala galerinha boa? Tudo bem com vocês? Vamos realizar mais um exercício sobre Distribuição Exponencial.

Primeiramente vamos extrair os dados do problema:

E X = 1 λ = 25000 ∴ λ = 0,00004

Passo 2

Na letra a, queremos a probabilidade um ventilador selecionado aleatoriamente durar pelo menos 20.000 horas:

P X > 20000 = 1 - ( 1 - e - 0,00004 20000 ) = 0,449

Também queremos a probabilidade de durar no máximo 30.000 horas:

P X ≤ 30000 = 1 - e - 0,00004 30000 = 1 - e - 2,772 = 0 , 699

E a probabilidade de estar entre 20.000 e 30.000 horas:

P 20000 ≤ X ≤ 30000 = 0,699 - 0,551 = 0,148

Passo 3

Na letra b, a probabilidade de o tempo de vida de um ventilador exceder o valor médio em mais de 2 desvios padrão.

O desvio padrão é:

σ = 1 λ = 25000

A probabilidade vai ser:

P X > μ + 2 σ = P X > 75000 = 1 - 1 - e - 0,00004 * 75000 = 0,05

Similarmente, mais de 3 desvios padrão:

P X > μ + 3 σ = P X > 100000 = 0,018

Valeu, moçada! Até a próxima!

Resposta

a) 0,449; 0,699; 0,148

b) 0,5; 0,018

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