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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 18

Sejam X   e   Y independentes identicamente, distribuídas com distribuição normal padrão. Ache a distribuição de ( U , V ) onde U = X 2 + Y 2     e     V = X Y . Neste caso, U   e   V são independentes?

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de probabilidade do Dantas sejam X   e   Y independentes identicamente, distribuídas com distribuição normal padrão. Ache a distribuição de ( U , V ) onde U = X 2 + Y 2     e     V = X Y . Neste caso, U   e   V são independentes?

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galera para se definir se U   e   V são independentes temos

V X = E X 2 - E X 2 = E X - E X 2

Tendo sido dado que,

U = X 2 + Y 2     e     V = X Y

Ficando,

V c x = c 2 V x → V x + c = V ( x )

Com,

V x + y = V x + V y → s e   f o r e m   i n d e p e n d e n t e s

V x - y = V x + V y → s e   f o r e m   i n d e p e n d e n t e s

Com isso temos,

V ∑ i x i = ∑ i   V ( x i ) + 2 ∑ c o v ( x i , x j )

Com a definição imposta por,

V x = c o v   ( x , y )

Como x   e   y são diferentes de zero ela são independentes.

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

x   e   y são diferentes de zero ela são independentes.

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