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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 4.Exercícios Suplementares - Ex. 113

Nos Exercícios 111 e 112, bem como em muitas outras situações, temos a fdp f ( x ) de X e queremos saber a fdp de Y = h ( X ) . Assuma que h ( ∙ ) é uma função inversível, de forma que y = h ( x ) pode ser resolvida para x para se obter x = k ( y ) . Podemos então mostrar que a fdp de Y é

g y = f k ( y ) ∙ k ' ( y )

a. Se X tiver distribuição uniforme com A = 0 e B = 1 , encontre a fdp de Y = - ln ⁡ X .

b. Resolva o Exercício 111 usando esse resultado.

c. Resolva o Exercício 112 (b) usando esse resultado.

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Para resolvermos essa questão vamos precisar organizar as informações dadas pelo enunciado e manipular as inequações. Bora lá!!!

Passo 2

É dado que X tem uma distribuição uniforme com parâmetros A = 0 e B = 1 , então o fdp de X pode ser escrito como:

f x x = 1                                       0 ≤ x ≤ 1 0                   p o r   o u t r o   l a d o

É dado que Y é uma va tal que

y = - ln ⁡ x

x = e - y = k ( y )

k ' y = - e - y

k ' ( y ) = e - y

Podemos escrever f k ( y ) como:

f k ( y ) = 1                                       0 ≤ e - y ≤ 1 0                             p o r   o u t r o   l a d o

A função e - y é uma função decrescente e a inequação 0 ≤ e - y ≤ 1 é equivalente a y ≥ 0 .

Logo, o f k ( y ) fica:

f k ( y ) = 1                     y ≥ 0                                         0                     p o r   o u t r o   l a d o  

É dado que o fdp de Y pode ser escrito como:

g y = f k ( y ) ∙ k ' ( y )

Substituindo os valores, o g ( y ) é representado por:

g ( y ) = e - y                     y ≥ 0                                         0                             p o r   o u t r o   l a d o  

Podemos dizer que Y tem uma distribuição exponencial com parâmetro λ = 1 .

Passo 3

O enunciado nos diz que X é uma distribuição normal, logo:

f x x = 1 2 π ∙ exp ⁡ - x 2 2

Sabemos que Y é uma função linear de Z :

y = σ ∙ x + μ

x = y - μ σ = k ( y )

k ' y = 1 σ

k ' ( y ) = 1 σ

Então, f k ( y ) é:

f k ( y ) = 1 2 π ∙ exp ⁡ - y - μ σ 2 2

f k ( y ) = 1 2 π ∙ exp ⁡ - ( y - μ ) 2 2 σ 2

Como o fdp é dado pela equação abaixo:

g y = f k ( y ) ∙ k ' ( y )

Substituindo os valores encontramos:

g y = 1 σ 2 π ∙ exp ⁡ - ( y - μ ) 2 2 σ 2

Observando a equação acima, Y tem distribuição normal com parâmetros μ e σ .

Passo 4

Agora, temos que X tem uma distribuição gama com parâmetros α e β , sendo escrita abaixo:

f x x = 1 β α ∙ Γ ( α ) ∙ x α - 1 ∙ exp ⁡ - x β                                     y ≥ 0   0                                                                                                                                         x < 0

A va de Y é definida por:

y = c ∙ x

x = y c = k ( y )

k ' y = 1 c

k ' ( y ) = 1 c

Então, f k ( y ) é:

f k ( y ) = 1 β α ∙ Γ ( α ) ∙ y c α - 1 ∙ exp ⁡ - x c β                           y ≥ 0   0                                                                                                                                           x < 0

Seguindo a mesma ideia do Passo 2.

g ( y ) = 1 ( c β ) α ∙ Γ ( α ) ∙ y c α - 1 ∙ exp ⁡ - x c β                           y ≥ 0   0                                                                                                                                                         x < 0

Observando a equação acima, Y tem distribuição gamma com parâmetros α e β .

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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