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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 15

A função de densidade de uma variável aleatória contínua X, o número total de horas (em unidades de 100 horas) que uma família usa o aspirador de pó em sua casa, no período de um ano, é dada no exercício 3.7 como

f x = x ,     0 < x < 1 2 - x ,     1 ≤ x < 2 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o .

Determine o número médio de horas por ano que as famílias usam seus aspiradores de pó.

Passo 1

Opa galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício de probabilidade? Vem comigo!

Nesse exercício ele nos dá uma função densidade com algumas restrições, uma variável aleatória continua X e pede o número médio de horas que as famílias usam seu aspirador.

Esses dados, função densidade de probabilidade, variável continua, e numero médio nos remetem a formula de valor esperado, vamos escrevê-la.

E X = ∫ - ∞ ∞ x f x d x

Passo 2

Agora que temos um caminho a ser seguido, vamos arrumar nossa integral e resolvê-la para concluirmos o exercício.

Primeiro vamos dividir os intervalos, para ficar mais fácil analisar f x .

Assim,

E X = ∫ - ∞ 0 x f x d x + ∫ 0 1 x f x d x + ∫ 1 2 x f x d x + ∫ 2 ∞ x f x d x

Agora vamos analisar f ( x ) em cada intervalo com a fórmula que nos foi dada. Após essa análise, montemos a integral novamente e esta ficará da seguinte maneira:

E X = ∫ - ∞ 0 0 x d x + ∫ 0 1 x 2 d x + ∫ 1 2 x ( 2 - x ) d x + ∫ 2 ∞ 0 x d x = ∫ 0 1 x 2 d x + ∫ 1 2 x ( 2 - x ) d x

Passo 3

Agora vamos resolver a integral obtida anteriormente.

E X = x 3 3 1 0 + x 2 - x 3 3 2 1 = 1 3 + 2 3 = 1

Como o enunciado nos diz “A função de densidade de uma variável aleatória contínua X, o número total de horas (em unidades de 100 horas)”

Logo, multipliquemos o valor esperado por 100, equivalente a 100 horas.

Desse modo obtemos que o número médio de horas por ano que as famílias usam seus aspiradores de pó é 100.

Resposta

O número médio de horas por ano que as famílias usam seus aspiradores de pó é 100.

Exercícios de Livros Relacionados

Seja X com densidade: f x = c ( 1 - x 2 ,s e - 1 ≤ x ≤ 1 0 ,c a s oc o n t r á r i o á Calcule a média e a variância de X.
Calcule a esperança, a variância e a f.d.a. da v.a. X do Problema 2.
Calcule a média da v.a. X do Problema 4.
A v.a. contínua X tem f.d.pf (x) = {[[3 x^2 , - 1 = x = 0],[0 , c a s o c o n t r á r i o]]) á (b) Calcule E ( X ) e V a r ( X ) .
A v.a. contínua X tem f.d.p f x = 3 x 2 , - 1 ≤ x ≤ 0 0 , c a s oc o n t r á r i o á (a) Se b for um número que satisfaz –1 , calcule P(Xb| X .