A moda de uma variável aleatória discreta X com fmp p ( x ) é o valor x* para o qual p ( x ) é o maior (o valor mais provável de x).

a. Seja X   ~   B i n ( n , p ) . Considerando a razão b ( x + 1 ; n , p ) / b ( x ; n , p ) demonstre que b ( x ; n , p ) aumenta com x, desde que x <   n p - ( 1 - p ) . Conclua que a moda x* é o inteiro que satisfaz n + 1 p - 1 ≤ x * ≤ n + 1 p

b. Demonstre que, se X tem distribuição de Poisson com parâmetro   λ , a moda é o maior inteiro menor que λ . Se λ for um inteiro, mostre que λ - 1 e λ são modas.

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!

Minha nossa senhorinha, tem que provar tanta coisa, demonstrar tanta coisa...

#medo

Vamos com calma provar essas doideras que nos é pedida e tá tudo certo, nós vamos sobreviver, confia!

Passo 2

Vamos ao item a)

Vamos usar essa razão, já que temos alguns indícios que ela poderá ser útil:

b ( x + 1 ; n , p ) b ( x , n , p )

Manipulando um pouquinho isso, chegamos em:

b ( x + 1 ; n , p ) b ( x , n , p ) = ( n - x ) ( x + 1 ) p ( 1 - p ) > 1   s e   n p - 1 - p > x ,   c o n c l u i n d o   a s s i m .

Bem curtinho, né?

Só ter tranquilidade que dá tudo certo!

Passo 3

Agora, partindo ao item b)

Vamos partir de uma outra razão:

p ( x + 1 ; λ ) p ( x ; λ )

Usando uma manipulação básica, podemos chegar em:

p x + 1 ; λ p x ; λ = λ x + 1 > 1   s e   x < λ - 1  

De onde decorre a conclusão declarada. Se λ é um inteiro, então λ - 1 é a moda, mas p λ , λ = p ( 1 - λ , λ ) então λ também é moda [ p x ; λ ] atinge seu máximo tanto para

x = λ - 1 quanto para x = λ .

Resposta

a) vide demonstração.

b) vide demonstração.

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