Um importante sistema age como apoio para um veículo do programa espacial. Um componente único e crucial opera somente 85% do tempo. Para aumentar a confiabilidade no sistema, decidiu-se que três componentes serão instalados em paralelo, de modo que o sistema falhe somente se todos os componentes falharem. Assuma que os componentes funcionem independentemente e que sejam equivalentes no sentido de que todos têm 85% de taxa de sucesso. Considere a variável aleatória o número de componentes, dentre os três,

que falham.

(a) Escreva a função de probabilidade para a variável aleatória .

(b) Qual é (ou seja, o número médio de componentes, dentre os três, que falham)?

(c) Qual é a ?

(d) Qual é a probabilidade de que o sistema inteiro tenha sucesso?

(e) Qual é a probabilidade de que o sistema falhe?

(f) Se desejarmos ter um sistema com 0,99 de probabilidade de sucesso, os três componentes são suficientes? Se não, quantos são necessários?

Vamos considerar sucesso o tempo e que o componente não opera, logo, a probabilidade de sucesso é . Sendo assim, o insucesso é dado por .

Como nós temos 3 componentes que falham .

Portanto, a função massa de probabilidade é:

Enquanto, a distribuição de probabilidade da variável é:

Para uma variável aleatória binomial com parâmetros , e , o valor esperado é dado pela fórmula abaixo:

Já a variância é descrita da seguinte forma:

Agora, precisamos encontrar a probabilidade de que o sistema continue, o evento que descreve essa situação é que 2 ou menos componentes falhem.

Para o sistema não funcionar, quer dizer que os 3 componentes falharam, e essa probabilidade é dada por:

Como a probabilidade na letra (d) é quase 1, podemos concluir que 3 componentes são suficientes.