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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 98

Sabe-se, por meio da coleta de dados e de muitas pesquisas, que o tempo, em segundos, que certo funcionário de uma empresa chega atrasado para o trabalho é a variável aleatória X , com função de densidade

f x = 3 4 × 50 3 50 2 - x 2 ,                 - 50 ≤ x ≤ 50 0 ,                                                                                       c a s o   c o n t r á r i o

Em outras palavras, ele não somente chega um pouco atrasado algumas vezes, mas também pode chegar mais cedo ao trabalho.

(a) Determine o valor esperado do tempo, em segundos, que ele chega atrasado.

(b) Determine E X 2 .

(c) Qual é o desvio-padrão do tempo que ele chega atrasado?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Para uma variável aleatória contínua X , o valor esperado é dado por:

E X = ∫ x x f ( x ) d x

Já o desvio-padrão pode ser obtido com a fórmula abaixo:

σ = E X 2 + E X 2

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Encontrando o lucro esperado pela fórmula do Passo 1:

E X = ∫ x x f ( x ) d x

= ∫ - 50 50 x 3 4 50 3 50 2 - x 2 d x

= ∫ - 50 50 3 200 x - 3 4 50 3 x 3 d x

E X = 0

Concluímos que a integral é igual a zero, pois, uma integral de uma função ímpar sobre um domínio simétrico é igual a zero.

Passo 3

Calculando o valor esperado de X 2 .

E X 2 = ∫ x x 2 f ( x ) d x

= ∫ - 50 50 x 2 3 4 50 3 50 2 - x 2 d x

= ∫ - 50 50 3 200 x 2 - 3 4 50 3 x 4 d x

= 1 200 x 3 - 3 20 50 3 x 5 - 50 50

= 1 200 50 3 - 3 20 50 3 50 5 - 1 200 ( - 50 ) 3 - 3 20 50 3 ( - 50 ) 5

E X 2 = 500

Passo 4

Por fim, o desvio-padrão é dado por:

σ = 500 - 0 2 = 10 5 ≈ 22,36

Resposta

a) 0

b) 500

c) 22,36

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