Enunciado
Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 9
Em um jogo de azar, uma mulher recebe $3, se tirar um valete ou uma dama, e $5, se tirar um rei ou um ás de um baralho de 52 cartas. Se tirar qualquer outra carta, ela perde. Quanto ela deve pagar para participar se o jogo for justo?
Passo 1
EITA, parece que estamos diante de um problemão!
Mas CALMA, vamos encontrar um jeito de sair dessa.
Primeiro vamos lembrar como funciona um baralho simples.
Temos 52 cartas, dessas 4 são reis, 4 são ás, 4 são damas e 4 são valetes, o restante não nos importa tanto agora.
Temos também, os valores associados a retirar um valete ou uma dama, $3 e o valor associado a retirar um rei ou um ás.
Lembrando da fórmula de valor esperado:
Logo, se encontrarmos as probabilidades associadas ao recebimento dos valores, parece que conseguiremos dar procedência no exercício.
Passo 2
Vamos usar a fórmula de valor esperado, pois se essa moça vai entrar no jogo, ela tem de saber o ganho esperado que este o fornecerá, para não acabar caindo num famoso GOLPE.
Olhando a fórmula do valor esperado e analisando os seus componentes, podemos associá-los da seguinte maneira:
X é a nossa variável aleatória e esta está ligado ao lucro
xi são os valores que a variável aleatória X assume, nesse caso é: $3, $5, $0.
P(xi) é a probabilidade de ocorrência de cada evento xi anunciado acima, vamos calculá-las agora:
Para lucrar $5 ela deverá retirar um rei ou um ás, a probabilidade de isso acontecer é
Para lucrar $3 ela deverá retirar um valete ou uma dama, a probabilidade de isso acontecer é
Para não lucrar nada ela deverá retirar qualquer outra carta, a probabilidade de isso acontecer é
Passo 3
Substituindo na fórmula, temos:
Logo, o lucro esperado por ela nesse jogo é de $1,23, se o jogo for justo este deverá ser o valor de entrada para participar
Resposta
Se o jogo for justo ela deve pagar $1,23 para participar.