Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 30

Refira-se ao Exercício 12 e calcule V(Y) e Y. Determine, então, a probabilidade de Y estar dentro do intervalo de 1 desvio padrão em torno da média.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Na tabela abaixo temos os valores de FPM dos valores de Y

Passo 2

A variância de X, onde X é uma variável aleatória discreta X com conjunto de valores possíveis S e fpm p(x), denotado V(X) ( σ X 2 o u   σ 2 ) é

V X =   ∑ x   ∈ S x -   μ 2 ∙ p x = E X -   μ 2

O desvio padrão de X é

σ X =   σ X 2  

Proposição: O seguinte é verdadeiro

V X =   σ 2 = ∑ x   ϵ   S x 2 ∙ p x =   μ 2 = E X 2 - [ E X ] ²

Primeiro, vamos calcular E ( Y ) e E ( Y 2 ) para calcular a variância V(X) usando a fórmula de atalho (a proposição dada acima).

Da tabela dada, o seguinte é verdadeiro

E Y = 45 ∙ 0.05 + 46 ∙ 0.1 + … + 54 ∙ 0.02 + 55 ∙ 0.01

= 48.84

O Valor Esperado (valor médio) de qualquer função g(X), onde X é uma variável aleatória discreta X com um conjunto de valores possíveis S e pmf p(x), denotados como E[g(X)]( μ g x )

E g X = μ g X =   ∑ x   ϵ   S g x ∙ p x

Em nosso caso g Y = Y 2

E Y 2 =   ∑ y   ∈ S g y ∙ p y =   ∑ y   ∈ S y 2 ∙ p x

= 45 2 ∙ 0.05 + 46 2 ∙ 0.1 + … + 54 2 ∙ 0.02 + 55 2 ∙ 0.01

= 2389.84

Da fórmula dada acima, o seguinte é verdade

V Y =   σ 2 = [ ∑     y   ϵ   S y 2 ∙ p ( y ) ] -   μ ² = E ( Y ² ) - [ E ( Y ) ] ²

= 2389.84 - 48.84 2 = 4.4944

E o desvio padrão é

σ Y =   V ( Y ) = 4.4994 = 2.12

Passo 3

A probabilidade de que Y esteja dentro de 1 desvio padrão (2,12) de seu valor médio (48,84), o que significa que precisamos encontrar a seguinte probabilidade

P E Y -   σ Y < Y < E Y +   σ Y = P 48.84 - 2.12 <     Y   < 48.84 + 2.12

= P 46.72 < Y Y < 50.96

= P   Y = 47 ∪ Y = 48 ∪ Y = 49 ∪ Y = 50

= 0.12 + 0.14 + 0.25 + 0.17

= 0.68 ;

Y é uma variável aleatória discreta, e para 46,72

Os eventos são disjuntos.

Resposta

V Y = 4.4944 ;

σ Y = 2.12 ;

P E Y -   σ Y < Y < E Y +   σ Y = 0.68

Exercícios de Livros Relacionados

O comportamento de componentes em série tem papel fundamental nos problemas de confiabilidade da engenharia e da ciência. A confiabilidade do sistema inteiro certamente não é melhor do que o component
Considere um sistema de componentes no qual há cinco componentes independentes, cada um com uma probabilidade operacional de 0,92. O sistema tem uma redundância que faz com que ele não falhe se três d
Outro tipo de sistema empregado em um trabalho de engenharia é um grupo de componentes em paralelo ou um sistema em paralelo. Nessa abordagem mais conservadora, a probabilidade de que o sistema opere
Dada a variável aleatória X , com desvio-padrão σ X , e a variável aleatória Y = a + b X , mostre que, se b0 , o coeficiente de correlação ρ X Y = - 1 , e, se b0 , ρ X Y = 1 .
Usando os resultados do Exercício 4.21, determine a variância de g X = X 2 , onde X é uma variável aleatória com função de densidade dada no Exercício 4.12.