Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 93

O lucro de um revendedor com um novo automóvel, em unidades de $ 5.000, é a variável aleatória , que tem como função de densidade

(a) Determine a variância do lucro do revendedor.

(b) Demonstre que a desigualdade de Chebyshev é válida para , com a função de densidade acima.

(c) Qual é a probabilidade que o lucro exceda $ 500?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Para encontrarmos a variância da variável aleatória contínua , vamos usar a fórmula a seguir:

Já o teorema de Chebyshev é dado por:

Então, bora lá para os cálculos!!!

Passo 2

Como vimos na fórmula do Passo 1, para definirmos a variância precisamos antes encontrar o valor esperado de e .

Definindo o valor esperado de :

Definindo o valor esperado de :

Sendo assim, a variância do lucro do vendedor é:

Passo 3

O teorema de Chebyshev para com a função de densidade do enunciado, temos:

Para demonstrar que o teorema é válido, nós precisamos calcular a probabilidade abaixo:

Como o teorema de Chebyshev nos diz que a probabilidade é maior do que , então, ele é válido para .

Passo 4

Nós precisamos definir a seguinte probabilidade , que é equivalente a . Para isso, temos a seguinte relação:

Resposta

(a)

(b) O teorema é válido

(c)

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