Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 93

O lucro de um revendedor com um novo automóvel, em unidades de $ 5.000, é a variável aleatória X , que tem como função de densidade

f x = 2 1 - x ,                                     0 ≤ x ≤ 1 0 ,                                             c a s o   c o n t r á r i o

(a) Determine a variância do lucro do revendedor.

(b) Demonstre que a desigualdade de Chebyshev é válida para k = 2 , com a função de densidade acima.

(c) Qual é a probabilidade que o lucro exceda $ 500?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Para encontrarmos a variância da variável aleatória contínua X , vamos usar a fórmula a seguir:

σ X 2 = E X 2 - E X 2

Já o teorema de Chebyshev é dado por:

P μ X - k σ X < X < μ X + 2 σ X ≥ 1 - 1 k 2

Então, bora lá para os cálculos!!!

Passo 2

Como vimos na fórmula do Passo 1, para definirmos a variância precisamos antes encontrar o valor esperado de X e X 2 .

Definindo o valor esperado de X :

E X = ∫ x x f ( x ) d x

= ∫ 0 1 x 2 1 - x d x

= 2 ∫ 0 1 ( x - x 2 ) d x

= 2 x 2 2 - x 3 3 0 1

= 2 1 2 - 1 3

E X = 1 3

Definindo o valor esperado de X 2 :

E X 2 = ∫ x x 2 f ( x ) d x

= ∫ 0 1 x 2 2 1 - x d x

= 2 ∫ 0 1 ( x 2 - x 3 ) d x

= 2 x 3 3 - x 4 4 0 1

= 2 1 3 - 1 4

E X 2 = 1 6

Sendo assim, a variância do lucro do vendedor é:

σ X 2 = 1 6 - 1 3 2 = 1 6 - 1 9 = 1 18

Passo 3

O teorema de Chebyshev para k = 2 com a função de densidade do enunciado, temos:

P μ X - 2 σ X < X < μ X + 2 σ X ≥ 1 - 1 2 2 = 3 4

Para demonstrar que o teorema é válido, nós precisamos calcular a probabilidade abaixo:

P μ X - 2 σ X < X < μ X + 2 σ X = P 1 3 - 2 1 18 < X < 1 3 + 2 1 18

= P 1 - 2 3 < X < 1 + 2 3

= ∫ 1 - 2 3 1 + 2 3 f ( x ) d x

= ∫ 0 1 + 2 3 2 ( 1 - x ) d x

= 2 x - x 2 0 1 + 2 3

= 2 1 + 2 3 - 1 + 2 3 2

= 3 + 4 2 9

P μ X - 2 σ X < X < μ X + 2 σ X = 0,9619

Como o teorema de Chebyshev nos diz que a probabilidade é maior do que 0,75 , então, ele é válido para k = 2 .

Passo 4

Nós precisamos definir a seguinte probabilidade P ( X > 500 $ / 5000 $ ) , que é equivalente a P ( X > 0,1 ) . Para isso, temos a seguinte relação:

P X > 0,1 = ∫ 0,1 1 f ( x ) d x

= ∫ 0,1 1 2 ( 1 - x ) d x

= 2 x - x 2 2 0,1 1

= 2 1 - 1 2 - 0,1 + 0,1 2 2

P X > 0,1 = 0,81

Resposta

(a) σ X 2 = 1 / 18

(b) O teorema é válido

(c) P X > 0,1 = 0,81

Exercícios de Livros Relacionados

Uma indústria elétrica fabrica uma lâmpada de 100 watts que, de acordo com as especificações da embalagem, tem vida média de 900 horas, com desvio-padrão de 50 horas. No máximo, qual é a porcentagem d
Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias independentes que têm como distribuição de probabilidade conjuntaDetermine(a) E ( 2 X - 3 Y ) ;(b) E ( X Y ) .
Use o Teorema 4.7 para avaliar E ( 2 X Y 2 - X 2 Y ) para a distribuição de probabilidade conjunta mostrada na Tabela 3.1.
Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias independentes com densidades de probabilidade g x = 8 x 3 , x2 0 ,c a s oc o n t r á r i o á E h y = 2 y , 0y1 0 ,c a s oc o n t r á r i o á Determine o va
Sejam X o número que ocorre quando um dado vermelho é jogado e Y , o número que ocorre quando um dado verde é jogado. Determine(a) E ( X + Y ) ;(b) E ( X - Y ) ;(c) E ( X Y ) .