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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 70

Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias independentes com densidades de probabilidade

g x = 8 x 3 ,                                                 x > 2 0 ,                   c a s o   c o n t r á r i o

E

h y = 2 y ,                                                 0 < y < 1 0 ,                                   c a s o   c o n t r á r i o

Determine o valor esperado de Z = X Y .

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. O enunciado nos disse que as variáveis X e Y são independentes, logo, o valor esperado de Z pode ser descrito como:

E Z = E X Y = E X E ( Y )

Agora, precisamos encontrar o valor esperado de cada variável. Então, bora para os cálculos!!

Passo 2

O valor esperado da variável contínua X é:

E X = ∫ x x g ( x )

= ∫ 2 ∞ x 8 x 3 d x

= ∫ 2 ∞ 8 x 2 d x

= - 8 x 2 ∞

= - 8 ∞ - - 4

E X = 4

O valor esperado da variável Y é:

E Y = ∫ y y h ( y ) d y

= ∫ 0 1 y 2 y d y

= ∫ 0 1 2 y 2 d y

= 2 y 3 3 0 1

E Y = 2 3

Por fim, o valor esperado solicitado pelo enunciado é definido por:

E Z = E X E Y = 4 2 3 = 8 3

Resposta

E Z = 8 3

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