Enunciado
Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 2.3 - Ex. 18
Um médico desconfia que um paciente tem um tumor no abdômen, pois isto ocorreu em 70% dos casos similares que tratou. Se o paciente de fato tiver o tumor, o exame ultra-som o detectará com probabilidade 0,9. Entretanto, se ele não tiver o tumor, o exame pode, erroneamente, indicar que tem com probabilidade 0,1. Se o exame detectou um tumor, qual é a probabilidade do paciente tê-lo de fato?
Passo 1
Note que, temos uma série de eventos que podem acontecer com o exame:
- O paciente pode ter o tumor e o ultra-som apontar que ele tem;
- O paciente pode ter o tumor e o ultra-som apontar que ele não tem;
- O paciente pode não ter o tumor e o ultra-som apontar que ele tem;
- O paciente pode não ter o tumor e o ultra-som apontar que ele não tem;
O exercício nos pede a probabilidade de que o exame aponte o tumor e que o paciente realmente tenha o tumor. Note que caímos nos eventos (1) e (3), em que o exame aponta o tumor.
Passo 2
Denotaremos como A o evento de “o exame apontar o tumor”, B o evento de “ele ter tumor” e C o evento de “ele não ter o tumor”.
Temos na situação (1) que o exame pode apontar o tumor e ele ter o tumor, assim:
Já na situação (3) o exame pode apontar o tumor, porém ele não ter o tumor, assim:
Assim, utilizando o teorema de Bayes, a probabilidade do paciente realmente ter o tumor será dada por:
Logo,
Resposta
A probabilidade do exame detectar um tumor e o paciente realmente ter o tumor é de 0,954.