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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 1.Exercícios - Ex. 8

Mostre que:

a) ∑ k = 0 n n k = 2 n b) ∑ k = 0 n - 1 k n k = 0 c) ∑ k = r n k r = n + 1 r + 1 ;

d) ∑ k = 0 n m r - k n k = n + m r ,   n ≤ r ≤ m ; e) ∑ k = 0 n n k = 2 n n ;

f)   ∑ k = 0 n k n k = n 2 n - 2 ; g) ∑ k = 0 n k k - 1 n k = n n - 1 2 n - 2 ;

h) n 1 + n 3 + … + n n - 1 = n 0 + n 2 + … + n n , com n par.

Passo 1

Fala aí pessoal tudo blz?

Nessa questão ele pede para mostrar que,

a) ∑ k = 0 n n k = 2 n b) ∑ k = 0 n - 1 k n k = 0 c) ∑ k = r n k r = n + 1 r + 1 ;

d) ∑ k = 0 n m r - k n k = n + m r ,   n ≤ r ≤ m ; e) ∑ k = 0 n n k = 2 n n ;

f)   ∑ k = 0 n k n k = n 2 n - 2 ; g) ∑ k = 0 n k k - 1 n k = n n - 1 2 n - 2 ;

h) n 1 + n 3 + … + n n - 1 = n 0 + n 2 + … + n n , com n par.

Calma galera vem comigo que você vai ver que é de boa.

Passo 2

Na letra (a) sabendo que,

∑ k = 0 n n k = 2 n ,

P x = 2 = ∑ k = 0 n n k - n 0 - n 1 = 2 n - n - 1

2 n ≠ 2 n - n - 1

Na letra (b), sabendo que

∑ k = 0 n - 1 k n k = 0

∑ k = 0 n - 1 k n k - - 1 0 - n 0 - - 1 1 n 1 = 0  

0 = 0

Na letra ( c ), sabendo que

∑ k = r n k r = n + 1 r + 1 , temos

∑ k = r n k r = n + 1 r + 1 - n 0 n 1 = n + 1 r + 1

n + 1 r + 1 = n + 1 r + 1

Passo 3

Na letra (d) sabendo que,

∑ k = 0 n m r - k n k = n + m r ,   n ≤ r ≤ m

∑ k = 0 n m r - k n k = m r - k n k n m = m r - 0 n 0 n m = n + m r

n + m r = n + m r

Na letra (e) sabendo que,

∑ k = 0 n n k = 2 n n ;

∑ k = 0 n n k = n k - n 0 n 1 = 2 n - n - 1

2 n - n - 1 ≠ 2 n n

Na letra (f) sabendo que,

∑ k = 0 n k n k = n 2 n - 2 ;

∑ k = 0 n k n k = n k p k 1 - p n - k = n 2 n - 1

n 2 n - 1 = n 2 n - 1

Passo 4

Na letra (g) sabendo que,

∑ k = 0 n k k - 1 n k = n n - 1 2 n - 2

∑ k = 0 n k k - 1 n k = p r 1 - p k - r k - 1 r - 1

∑ k = 0 n k k - 1 n k = p r 1 - p 0 - r 0 - 1 r - 1 = n n - 1 2 n - 2

n n - 1 2 n - 2 ≠ n n - 1 2 n - 2

E por fim na letra (h) temos,

n 1 + n 3 + … + n n - 1 = n 0 + n 2 + … + n n , com n par

n 1 + n 3 + … + n n - 1 = n 0 + n 3 - 1 + n 5 - 1 … + n n - 1

n 0 + n 2 + … + n n = n 0 + n 2 + … + n n

Espero ter ajudado, bons estudos e até a próxima.

Resposta

a) 2 n ≠ 2 n - n - 1

b) 0 = 0

c) n + 1 r + 1 = n + 1 r + 1

d) n + m r = n + m r

e) n 2 n - 1 = n 2 n - 1

f) n 2 n - 1 = n 2 n - 1

g) n n - 1 2 n - 2 ≠ n n - 1 2 n - 2

h) n 0 + n 2 + … + n n = n 0 + n 2 + … + n n

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