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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 1.Exercícios - Ex. 8

Mostre que:

a) sum_(k = 0)^n ([[n],[k]]) = 2^n b) sum_(k = 0)^n (- 1)^k ([[n],[k]]) = 0 c) sum_(k = r)^n ([[k],[r]]) = ((n + 1)/(r + 1)) ;

d) sum_(k = 0)^n ([[m],[r,-,k]]) ([[n],[k]]) = ([[n,+,m],[r]]) , n <= r <= m ; e) sum_(k = 0)^n ([[n],[k]]) = ([[2,n],[n]]) ;

f) sum_(k = 0)^n k ([[n],[k]]) = n 2^(n - 2) ; g) sum_(k = 0)^n k (k - 1) ([[n],[k]]) = n (n - 1) 2^(n - 2) ;

h) ([[n],[1]]) + ([[n],[3]]) + ... + ([[n],[n,-,1]]) = ([[n],[0]]) + ([[n],[2]]) + ... + ([[n],[n]]) , com n par.

Passo 1

Fala aí pessoal tudo blz?

Nessa questão ele pede para mostrar que,

a) sum_(k = 0)^n ([[n],[k]]) = 2^n b) sum_(k = 0)^n (- 1)^k ([[n],[k]]) = 0 c) sum_(k = r)^n ([[k],[r]]) = ((n + 1)/(r + 1)) ;

d) sum_(k = 0)^n ([[m],[r,-,k]]) ([[n],[k]]) = ([[n,+,m],[r]]) , n <= r <= m ; e) sum_(k = 0)^n ([[n],[k]]) = ([[2,n],[n]]) ;

f) sum_(k = 0)^n k ([[n],[k]]) = n 2^(n - 2) ; g) sum_(k = 0)^n k (k - 1) ([[n],[k]]) = n (n - 1) 2^(n - 2) ;

h) ([[n],[1]]) + ([[n],[3]]) + ... + ([[n],[n,-,1]]) = ([[n],[0]]) + ([[n],[2]]) + ... + ([[n],[n]]) , com n par.

Calma galera vem comigo que você vai ver que é de boa.

Passo 2

Na letra (a) sabendo que,

sum_(k = 0)^n ([[n],[k]]) = 2^n ,

P (x = 2) = sum_(k = 0)^n ([[n],[k]]) - ([[n],[0]]) - ([[n],[1]]) = 2^n - n - 1

2^n != 2^n - n - 1

Na letra (b), sabendo que

sum_(k = 0)^n (- 1)^k ([[n],[k]]) = 0

sum_(k = 0)^n (- 1)^k ([[n],[k]]) - (- 1)^0 - ([[n],[0]]) - (- 1)^1 ([[n],[1]]) = 0

0 = 0

Na letra ( c ), sabendo que

sum_(k = r)^n ([[k],[r]]) = ((n + 1)/(r + 1)) , temos

sum_(k = r)^n ([[k],[r]]) = ([[n,+,1],[r,+,1]]) - ([[n],[0]]) ([[n],[1]]) = ([[n,+,1],[r,+,1]])

([[n,+,1],[r,+,1]]) = ([[n,+,1],[r,+,1]])

Passo 3

Na letra (d) sabendo que,

sum_(k = 0)^n ([[m],[r,-,k]]) ([[n],[k]]) = ([[n,+,m],[r]]) , n <= r <= m

sum_(k = 0)^n ([[m],[r,-,k]]) ([[n],[k]]) = (([[m],[r,-,k]]) ([[n],[k]]))/(([[n],[m]])) = (([[m],[r,-,0]]) ([[n],[0]]))/(([[n],[m]])) = ([[n,+,m],[r]])

([[n,+,m],[r]]) = ([[n,+,m],[r]])

Na letra (e) sabendo que,

sum_(k = 0)^n ([[n],[k]]) = ([[2,n],[n]]) ;

sum_(k = 0)^n ([[n],[k]]) = ([[n],[k]]) - ([[n],[0]]) ([[n],[1]]) = 2^n - n - 1

2^n - n - 1 != ([[2,n],[n]])

Na letra (f) sabendo que,

sum_(k = 0)^n k ([[n],[k]]) = n 2^(n - 2) ;

sum_(k = 0)^n k ([[n],[k]]) = ([[n],[k]]) p^k (1 - p)^(n - k) = n 2^(n - 1)

n 2^(n - 1) = n 2^(n - 1)

Passo 4

Na letra (g) sabendo que,

sum_(k = 0)^n k (k - 1) ([[n],[k]]) = n (n - 1) 2^(n - 2)

sum_(k = 0)^n k (k - 1) ([[n],[k]]) = p^r (1 - p)^(k - r) ((k - 1)/(r - 1))

sum_(k = 0)^n k (k - 1) ([[n],[k]]) = p^r (1 - p)^(0 - r) ([[0,-,1],[r,-,1]]) = n (n - 1) 2^(n - 2)

n (n - 1) 2^(n - 2) != n (n - 1) 2^(n - 2)

E por fim na letra (h) temos,

([[n],[1]]) + ([[n],[3]]) + ... + ([[n],[n,-,1]]) = ([[n],[0]]) + ([[n],[2]]) + ... + ([[n],[n]]) , com n par

([[n],[1]]) + ([[n],[3]]) + ... + ([[n],[n,-,1]]) = ([[n],[0]]) + ([[n],[3,-,1]]) + ([[n],[5,-,1]]) ... + ([[n],[n,-,1]])

([[n],[0]]) + ([[n],[2]]) + ... + ([[n],[n]]) = ([[n],[0]]) + ([[n],[2]]) + ... + ([[n],[n]])

Espero ter ajudado, bons estudos e até a próxima.

Resposta

a) 2^n != 2^n - n - 1

b) 0 = 0

c) ([[n,+,1],[r,+,1]]) = ([[n,+,1],[r,+,1]])

d) ([[n,+,m],[r]]) = ([[n,+,m],[r]])

e) n 2^(n - 1) = n 2^(n - 1)

f) n 2^(n - 1) = n 2^(n - 1)

g) n (n - 1) 2^(n - 2) != n (n - 1) 2^(n - 2)

h) ([[n],[0]]) + ([[n],[2]]) + ... + ([[n],[n]]) = ([[n],[0]]) + ([[n],[2]]) + ... + ([[n],[n]])

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