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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 34

O peso líquido, em libras, de um pacote com herbicida químico é uniforme para 49.75 < x < 50.25 libras.

  1. Determine a média, a variância do peso dos pacotes.
  2. Determine a função de distribuição cumulativa do peso dos pacotes.
  3. Determine P ( X < 50,1 )

Passo 1

Seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme contínua sobre no intervalo [ 49.75 ;   50.25 ] . Usando a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua:

f ( x ) = 1 50.25 - 49.75 = 1 0.5 = 2 ,   49.75 < x < 50.25

Passo 2

Na letra a:

Suponha que X seja uma variável aleatória contínua, com uma função densidade de probabilidade f ( x ) . A média, ou o valor esperado de X , denotados por μ ou E ( X ) , são:

μ = E ( X ) = ∫ - ∞ ∞ x f ( x ) d x

A variância de X , denotada por V ( X ) ou σ 2 é:

σ 2 = V ( X ) = ∫ - ∞ ∞ ( x - μ ) 2 f ( x ) d x = ∫ - ∞ ∞ x 2 f ( x ) d x - μ 2

O desvio padrão de X é:

σ = V ( X )

Sabendo disso, vamos calcular o que se pede:

E ( X ) = 49.75 + 50.25 2 = 50

V a r ( X ) = ( 50.25 - 49.7 5 ) 2 12 = 0.0208

S t d ( X ) = V a r = 0.144

Passo 3

Na letra b:

F ( x ) = 0 ,   x ≤ 49.75

F ( x ) = x - 49.75 50.25 - 49.75 = 2 x - 99.5 ,   49.75 <   x < 50.25

F ( x ) = 1 ,   x ≥ 50.25

Passo 4

Na letra c:

P ( X < 50.1 ) = F ( 50.1 ) = 2 × 50.1 - 99.5 = 0.7

Resposta

  1. Média= 50, Variância =0.0208, Desvio Padrão = 0.144
  2. F ( x ) = 0 ,   x ≤ 49.75

    3. F ( x ) = 2 x - 99.5 ,   49.75 <   x < 50.25

    F ( x ) = 1 ,   x ≥ 50.25

  3. 0.7
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Na distribuição X ~ N μ ; σ 2 , encontre: P X ≥ μ + 2 σ