Enunciado

A probabilidade de um alinhamento óptico com sucesso em um arranjo de um produto de armazenamento de dados óptico é de 0.8. Considere que as tentativas sejam independentes.

  1. Qual é a probabilidade de que o primeiro alinhamento com sucesso requeira exatamente quatro tentativas?
  2. Qual é a probabilidade de que o primeiro alinhamento com sucesso requeira no máximo quatro tentativas?
  3. Qual é a probabilidade de que o primeiro alinhamento com sucesso requeira no mínimo quatro tentativas?

Passo 1

Temos o seguinte dado:

p = 0.8

A distribuição de uma variável que mede o número de tentativas até o primeiro sucesso é uma distribuição geométrica.

Definição de probabilidade geométrica:

P ( X = k ) = q k - 1 p = ( 1 - p ) k - 1 p

Passo 2

Então, na letra a, vamos avaliar para k = 4 :

P ( X = 4 ) = ( 1 - 0.8 ) 4 - 1 0.8 = 0 . 2 3 0.8 = 0.0064

Passo 3

Letra b:

Vamos avaliar para k = 1,2 , 3,4 :

P ( X = 1 ) = ( 1 - 0.8 ) 1 - 1 0.8 = 0 . 2 0 0.8 = 0.8

P ( X = 2 ) = ( 1 - 0.8 ) 2 - 1 0.8 = 0 . 2 1 0.8 = 0.16

P ( X = 3 ) = ( 1 - 0.8 ) 3 - 1 0.8 = 0 . 2 2 0.8 = 0.032

P ( X = 4 ) = ( 1 - 0.8 ) 4 - 1 0.8 = 0 . 2 3 0.8 = 0.0064

Vamos então adicionar as probabilidades correspondentes (no máximo 4 tentativas significa que X é 4 ou menos):

P ( X ≤ 4 ) = P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 ) + P ( X = 4 ) = 0.8 + 0.16 + 0.032 + 0.0064 = 0.9984

Passo 4

Na letra c:

Regra de complemento:

P ( n ã o   s e r   A ) = 1 - P ( A )

Vamos avaliar a definição para k = 1,2 , 3 :

P ( X = 1 ) = ( 1 - 0.8 ) 1 - 1 0.8 = 0 . 2 0 0.8 = 0.8

P ( X = 2 ) = ( 1 - 0.8 ) 2 - 1 0.8 = 0 . 2 1 0.8 = 0.16

P ( X = 3 ) = ( 1 - 0.8 ) 3 - 1 0.8 = 0 . 2 2 0.8 = 0.032

Usando a regra do complemento (pelo menos 4 tentativas significa que X é 4 ou mais):

P ( X ≥ 4 ) = 1 - P ( X < 4 ) = 1 - P ( X = 1 ) - P ( X = 2 ) - P ( X = 3 ) = 1 - 0.8 - 0.16 - 0.032 = 0.008

Resposta

  1. 0.0064
  2. 0.9984
  3. 0.008
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