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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 55

Três pessoas lançam uma moeda não adulterada e

aquela que obtiver um resultado diferente das outras duas

paga o café. Se os resultados forem os mesmos, elas lançam

a moeda novamente. Determine a probabilidade de que

menos de quatro lançamentos da moeda sejam necessários.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Se as três moedas aparecerem todas iguais, consideramos isso um fracasso.

  ∴   'Falha'   ≡ { H H H }  or  { T T T }   ∴   Probabilidade de falha  em cada tentativa   = P [ { H H H } ∪ { T T T } ]   = P [ H H H ] + P [ T T T ] ∵   os eventos   { H H H } , { T T T }   s ã o   ]     mutualmente exclusivos     = 1 2 ⋅ 1 2 ⋅ 1 2 + 1 2 ⋅ 1 2 ⋅ 1 2   = 0.25   ∴ q = 0.25

∴ A probabilidade de um sucesso em cada ensaio é p = 1 - q = 0.75   que os ensaios são independentes.

Passo 2

Seja X a variável aleatória que representa o número de lances para decidir quem será o homem estranho, ou seja, X é o não. de tentativas para obter o 1 º   sucesso.

Portanto, X tem uma distribuição binomial negativa com parâmetros k = 1 , p = 0.75 P ( X = x ) = b * ( x ; k , p ) , onde x = k , k + 1 , k + 2 , …

= x - 1 k - 1 p k q x - k

Agora temos que computar P ( X < 4 ) .

∴ P ( X < 4 )   = P ( 1 ≤ X ≤ 3 )   = ∑ x = 1 3     b * ( x ; 1,0.75 )   = b * ( 1 ; 1,0.75 ) + b * ( 2 ; 1,0.75 ) + b * ( 3 ; 1,0.75 )   = 0 0 ( 0.75 ) 1 ( 0.25 ) 0 + 1 0 ( 0.75 ) 1 ( 0.25 ) 1 + 2 0 ( 0.75 ) 1 ( 0.25 ) 2   = 0.75 + 0.1875 + 0.046875   = 0.984375

Resposta

0.984375

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