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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 5

(a) No Problema 3, calcule E ( X + Y )   e   V a r ( X + Y ) .

(b) Se Z   =   a X + b Y , calcule a e b de modo que E ( Z ) = 10 e V a r Z =   600 .

Passo 1

Do Problema 3, sabemos que

E X = 0

E Y = 1 3

V a r X = 1

V a r Y = 5 9

Vamos usar os teoremas 8.1 e 8.3?

O teorema 8.1 nos diz que

E X + Y = E X + E ( Y )

Já o teorema 8.3 nos diz que se X e Y são independentes, então

V a r X + Y = V a r X + V a r ( Y )

Agora, mão na massa!

Passo 2

(a) No Problema 3, calcule E ( X + Y )   e   V a r ( X + Y ) .

E X + Y = E X + E Y = 0 + 1 3 = 1 3

V a r X + Y = V a r X + V a r Y = 1 + 5 9 = 14 9

Passo 3

(b) Se Z   =   a X + b Y , calcule a e b de modo que E ( Z ) = 10 e V a r Z =   600 .

Dos teoremas apresentados no Passo 1 e propriedades da Esperança e Variância da pág 208, temos

E Z = E a X + b Y = E a X + E b Y = a E X + b E Y = a . 0 + b . 1 3 = 10 → b = 30

V a r Z = V a r a X + V a r b Y = a 2 V a r X + b 2 V a r Y = a 2 . 1 + b 2 . 5 9 = 600

a 2 + 30 2 + 5 9 = 600 → a 2 = 600 - 500 ∴ a ± 10

Resposta

(a) E X + Y = 1 3                     V a r X + Y = 14 9

(b) a = ± 10 ,     b = 30

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