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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 41

Prove: V a r (hat sigma^2) < (2 sigma^4)/(n - 1) = V a r ( S^2 )

Passo 1

Primeiramente, temos as seguinte definições para hat sigma^2 e S^2 :

hat sigma^2 = (sum_(i = 1)^n (x_i - overset(-)(X))^2)/(n) e S^2 = (sum_(i = 1)^n (x_i - overset(-)(X))^2)/(n - 1)

Passo 2

Sabendo disso, Vamos encontrar a variâncias para ambos os estimadores:

V a r (S^2) = V a r ((sum_(i = 1)^n (x_i - overset(-)(X))^2)/(n - 1)) = (1)/((n - 1)^2) sum_(i = 1)^n (V a r (x_i^2) - V a r (overset(-)(X)^2)) = (2 . sigma^4)/(n - 1)

E

V a r (hat sigma^2) = V a r ((sum_(i = 1)^n (x_i - overset(-)(X))^2)/(n)) = (1)/(n^2) sum_(i = 1)^n (V a r (x_i^2) - V a r (overset(-)(X)^2)) = ((n - 1)/(n^2)) (2 sigma^4)

Passo 3

Logo,

V a r (hat sigma^2) = ((n - 1)/(n^2)) (2 sigma^4)

Multiplicando em cima e em baixo por (n - 1) :

V a r (hat sigma^2) = ((n - 1)/(n^2)) (2 sigma^4) ((n - 1)/(n - 1)) = (((n - 1)^2)/(n^2)) ((2 sigma^4)/(n - 1)) = ((n - 1)^2)/(n^2) V a r (S^2)

Repare que para qualquer n > 1 :

((n - 1)/(n))^2 < 1

Isso significa então que:

V a r (hat sigma^2) < V a r (S^2) = (2 . sigma^4)/(n - 1)

Resposta

Portanto, como V a r (hat sigma^2) = ((n - 1)^2)/(n^2) V a r (S^2) e para qualquer n > 1 , ((n - 1)/(n))^2 < 1 ,

Concluimos que a variância do estimador S^2 é maior do que a variância do estimador hat sigma^2 ;

Comforme queríamos demonstrar.

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