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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 47

Em relação às variáveis aleatórias cuja função de densidade conjunta é dada no Exercício 3.40, determine a covariância de X e   Y .

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. No Exercício 3.44, nós encontramos que a distribuição de probabilidade conjunta é dada pela fórmula a seguir:

f x , y = 2 3 x + 2 y ,           0 ≤ x ≤ 1 ,       0 ≤ y ≤ 1 0 ,                                                                             c a s o   c o n t r á r i o

E a covariância nós vamos encontrar pela fórmula abaixo:

σ X Y = E X Y - μ X μ Y

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Primeiro, precisamos definir as distribuições marginais para X e Y , nós já calculamos essas distribuições no Exercício 3.40 e são dadas por:

g x = 2 3 x + 1                             h y = 1 3 ( 1 + 4 y )

Sendo assim, podemos definir as médias das variáveis.

A média da variável X é definida por:

μ X = ∫ x x g ( x ) d x

= ∫ 0 1 x 2 3 x + 1 d x

= 2 3 ∫ 0 1 x 2 + x d x

= 2 3 x 3 3 + x 2 2 0 1

μ X = 5 9

E a média da variável Y é:

μ Y = ∫ y y h ( y ) d y

= ∫ 0 1 y 1 3 ( 1 + 4 y ) d y

= 1 3 ∫ 0 1 y + 4 y 2 d y

= 1 3 y 2 2 + 4 y 3 3 0 1

μ Y = 11 18

Passo 3

O que nos resta para podermos encontrar a covariância é achar o valor esperado de X Y , que é definido por:

E X Y = ∫ x ∫ y x y f x , y

= ∫ 30 50 ∫ 30 50 x y ∙ 2 3 x + 2 y d x d y

= 2 3 ∫ 30 50 x 2 y 2 2 + 2 x y 3 3 0 1 d x

= 2 3 ∫ 0 1 x 2 2 + 2 x 3 d x

= 2 3 x 3 6 + x 2 3 30 50

E X Y = 1 3

Por fim, podemos encontrar a covariância pela fórmula do Passo 1.

σ X Y = E X Y - μ X μ Y = 1 3 - 5 9 11 18 = - 0,006

Resposta

σ X Y = - 0 , 006

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