Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 54

Repita o Exercício 4.43, aplicando os teoremas 4.5 e 4.9.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. No Exercício 4.43, nós tínhamos uma variável aleatória contínua com a seguinte função de densidade:

f x = 1 4 e - x / 4 ,                                           x > 0 0 ,                           c a s o   c o n t r á r i o  

E o exercício pedia para encontrarmos a média e a variância da variável Y = 3 X - 2 .

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a média da variável X :

μ X = ∫ x x f ( x )

= ∫ 0 ∞ x 1 4 e - x 4 d x

= lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t x 1 4 e - x 4 d x

Usando integral por partes, encontramos:

= lim t → ∞ ⁡ - x e - x 4 0 t - ∫ 0 t - e - x 4 d x

= lim t → ∞ ⁡ - t e - t 4 - 4 e - x 4 0 t

= lim t → ∞ ⁡ - t e - t 4 - 4 e - t 4 - 4

= lim t → ∞ ⁡ 4 - t + 4 e - t 4

Como qualquer número elevado ao menos infinito é 0.

μ X = 4

Agora, para determinarmos a variância vamos usar a fórmula abaixo:

σ X 2 = E X 2 - μ X 2

Então, nos falta encontrarmos o E ( X 2 ) , que é definido abaixo:

E X 2 = ∫ x x 2 f ( x ) d x

= ∫ 0 ∞ x 2 1 4 e - x 4 d x

= lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t x 2 1 4 e - x 4 d x

Usando integral por partes novamente:

= lim t → ∞ ⁡ - x 2 e - x 4 0 t - ∫ 0 t - 2 x e - x 4 d x

= lim t → ∞ ⁡ - t 2 e - t 4 + 2 ∫ 0 t x e - x 4 d x

= lim t → ∞ ⁡ - t 2 e - t 4 + 8 lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t x 1 4 e - x 4 d x

Perceba que a integral exatamente igual a média que calculamos acima, e o limite da esquerda resulta em 0:

= 0 + 8 μ X

E X 2 = 32

Sendo assim, a variância da variável X é:

σ X 2 = E X 2 - μ X 2 = 32 - 4 2 = 16

Passo 3

Por fim, nós vamos definir a média e a variância da variável Y = 3 X - 2 com as propriedades a seguir:

μ a X + b = a μ X + b

σ a X + b 2 = a 2 σ X 2

Portanto, a média de Y é:

μ Y = μ 3 X - 2 = 3 μ X - 2 = 3 4 - 2 ) = 10

E a sua variância:

σ Y 2 = σ 3 X - 2 2 = 3 2 σ X 2 = 9 16 = 144

Resposta

μ Y = 10

σ Y 2 = 144

Exercícios de Livros Relacionados

Sendo X tilde N ((5)/(4) ; (1)/(9)) , Calcule:(e) P (|X - 1|(1)/(4))
Na distribuição X tilde N (mu ; sigma^2) , encontre:P (X = mu + 2 sigma)
Na distribuição X tilde N (mu ; sigma^2) , encontre:(b) P (|X - mu| = sigma)
Na distribuição X tilde N (mu ; sigma^2) , encontre:O número a tal que P (mu - a sigma = X = mu + a sigma) = 0,99
Na distribuição X tilde N (mu ; sigma^2) , encontre:O número a tal que P (Xa) = 0,90