Enunciado

9-39.Sabe se que a vida,em horas.de uma bateriaeaproximadamente

normalinente distribuida.com desvio-padraoo=1.25 hora.Uma amos-

tra aleatoria de 10 baterias tem uma vida media de x=40.5 horas.

(a)Ha evidencia que suporte a alegacao de que a vida da bateria excede

40 horas?Use a=0.05.

(b)Qual eo valorPpara o teste do item(a)?

(c)Qual sera o erro B para o teste do item(a),se a media verdadeira for

42 horas?

(d)Que tamanho da amostra seria requerido para assegurar que B nao

excede 0,10,se a vida media verdadeira fosse 44 horas?

(e)Explique como voce poderia responder a questao no item(a).calcu-

lando um limite apropriado de confianca para a vida.

Passo 1

E aí galera, vamo lá

Uma amostra aleatória de n = 10 baterias tem uma vida média de x _ = 40.5 horas e desvio padrão σ = 125 .

Passo 2

Letra a:

Precisamos testar

H 0 : μ = 40

contra

H 1 : μ > 40

usando α = 0.05

O teste de estatística

z 0 = x - - μ σ n = 40.5 - 40 1.25 10 = 1.26

Agora é

α = 0.05 ⇒ z α = z 0.05 = 1.65

Se - z α ≤ z 0 ≤ z α   então devemos falhar em rejeitar H 0 . Portanto,

1.26 = z 0 < z α = 1.65

E a hipótese H 0 : μ = 155 é verdadeira, ou seja, há evidências para apoiar a alegação de que a vida da bateria excede 40 horas

Passo 3

Letra b:

O valor P para este teste é

P z α > z 0 = 1 - Φ z 0 = 1 - Φ ( 1.26 ) = 1 - 0.896165 = 0.103835

onde Φ ( z ) denota a probabilidade à esquerda de z na distribuição normal padrão.

Passo 4

Letra c:

A probabilidade de um erro do tipo II para um teste bilateral na média, com variância conhecida é

β = Φ z α - δ n σ                                             ( 1 )

Onde δ = μ - μ 0

Sabe que um valor verdadeiro para a média é μ = 42 . Então

δ = 42 - 40 = 2

Portanto, da Equação (1) e Tabela III do Apêndice, obtemos

β = Φ 1.65 - 2 10 1.25 = Φ ( - 3.41 )

Então, o erro β é

β = 0.000325

Passo 5

Letra d:

Tamanho da amostra para um teste bilateral na média, a variância conhecida é

n = z α + z β 2 σ 2 δ 2

Onde, δ = μ - μ 0

Uma média verdadeira é μ = 44 , então δ = 4 . Queremos β < 0.1 . Portanto, z β = z 0.1 = 1.29 e

n = ( 1.65 + 1.29 ) 2 1.25 2 4 2 = 0.844

Então, um tamanho de amostra é

n ≈ 1

Passo 6

Letra e:

Um limite inferior de 100 ( 1 - α ) % na média é

x - - z α σ n ≤ μ

Portanto, um limite inferior de 95% na média é

40.5 - 1.65 1.25 10 ≤ μ 39.85 ≤ μ

Portanto   40 ∈ [ 39.85 , ∞ ) e há evidências para apoiar a alegação de que a vida útil da bateria excede 40 horas.

Resposta

  1. 1.26 = z 0 < z α = 1.65 ,  então devemos falhar em rejeitar  H 0
  2. Valor P  = 0.103835  .
  3. β = 0.000325
  4. n ≈ 1
  5. 39.85 ≤ μ
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