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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 32

Seja X uma va de Bernoulli com fmp como no Exemplo 3.17.

a. Calcule E(X²).

b. Demonstre que V(X) = p(1 - p).

c. Calcule E(X79).

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Variável aleatória de Bernoulli: Qualquer variável aleatória que tenha apenas dois valores possíveis: 0 e 1, p(0) = 1-p e p 1 = p .

  1. O Valor Esperado (valor médio) de qualquer função g(X), onde X é uma variável aleatória discreta X com um conjunto de valores possíveis S e pmf p(x), denotados como E g X μ g ( x ) é

    2. E g X =   μ g x =   ∑ x   ϵ   S g x ∙ p x

    No nosso caso g X = X 2 , nós temos

    E X 2 =   ∑ x   ϵ   S x 2 ∙ p x = 0 2 ∙ 1 - p + 1   ² ∙ p = p

    Passo 2

  2. Proposição: O seguinte é verdade

    3. V X =   σ 2 = [ ∑ x   ϵ   S x 2 ∙ p x ] -   μ ² = E ( X ² ) - [ E ( X ) ] ²

    Nós precisamos apenas calcular E(X).

    O Valor Esperado (valor médio) de uma variável aleatória discreta X com conjunto de valores possíveis S e pmf p(x) é

    E X =   μ x =   ∑ x   ∈ S x ∙ p ( x )

    O seguinte é verdade

    E X = 0 ∙ 1 - p + 1 ∙ p = p

    Portanto, a partir da fórmula de atalho, o seguinte é verdadeiro

    V X = p - p 2 = p ∙ 1 - p

    Passo 3

  3. Nesse caso, g X = X 79 , o seguinte é verdadeiro

E X 79 =   ∑ x   ϵ   S x 79 ∙ p x   = 0 79 ∙ 1 - p + 1 79 ∙ p = p

Resposta

  1. E X 2 = p ;
  2. V X = p 1 - p
  3. E X 79 = p

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