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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 6.3 - Ex. 20d

Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:

(d) P (X <= 7,X > 2) .

Passo 1

Vamos lá, na letra D temos uma probabilidade condicional, em outras palavras ela nos diz,

“Qual é a probabilidade de X ser menor ou igual a 7, sabendo que ele É maior do que 2?”

Para isso existe uma formulazinha, teremos mais ou menos o seguinte:

P (X <= 7,X > 2) = (P (X <= 7 nn X > 2))/(P (X > 2))

Sabemos das alternativas anteriores que, a nossa função densidade será:

f (x) = {[[(1)/(10),e^((- x)/(10)),,,,,,,,,x,>=,0],[,,0,,,,,,,,c,a,s,o,,c,o,n,t,r,á,r,i,o]])

Passo 2

Agora, repare que se queremos que X seja menor do que 7 E maior do que 2, podemos dizer o seguinte:

P (X <= 7 nn X > 2) = P ( 2 < X <= 7 )

E então teremos:

P (2 < X <= 7) = int_2^7 f (x) d x = int_2^7 ((1)/(10) e^((- x)/(10))) d x

Encontramos facilmente que:

int_2^7 ((1)/(10) e^((- x)/(10))) d x = - [e^(- (x)/(10))] (7)/(2)

Portanto:

P (2 < X <= 7) = e^(- 0,2) - e^(- (7)/(10))

E

P (X > 2) = int_2^(+ oo) ((1)/(10) e^((- x)/(10))) d x

Logo,

P (X > 2) = - [e^(- (x)/(10))] (+ oo)/(2) = e^(- 0,2) - e^(- oo)

Sabemos que

underset(x -> + oo)(lim) e^(- x) = underset(x -> + oo)(lim) (1)/(e^x) = (1)/(oo) = 0

Ou seja, teremos

P (X > 2) = e^(- 0,2)

Passo 3

Substituindo na fórmula da condicional:

P (X <= 7,X > 2) = ((e^(- 0,2) - e^(- (7)/(10))))/(e^(- 0,2))

Dando uma arruma, colocando e^(- 0,2) em evidência:

P (X <= 7,X > 2) = 1 - e^(- 0,5)

Resposta

Concluimos então,

(d) P (X <= 7,X > 2) = 0,3935

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