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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios Suplementares - Ex. 92

Sejam A a porcentagem de um elemento de um espécime de rocha selecionado aleatoriamente, e B a porcentagem de um segundo elemento desse mesmo espécime. Suponha que D e E sejam erros de medição ao determinar os valores de A e B , de modo que os valores medidos sejam X = A + D e Y = B + E , respectivamente. Assuma que os erros de medição sejam independentes um do outro e dos valores reais.

a. Mostre que C o r r ⁡ ( X , Y )

= C o r r ⁡ ( A , B ) ⋅ C o r r ⁡ X 1 , X 2 ⋅ C o r r ⁡ Y 1 , Y 2

onde X 1 e X 2 são mediçōes duplas do valor de A e Y 1 e Y 2 são definidos analogamente com relação a B . Que efeito a presença de erro de medição tem sobre a correlação?

b. Qual é o valor máximo de C o r r ⁡ ( X , Y ) quando C o r r ⁡ X 1 , X 2 = 0,8100 e C o r r ⁡ Y 1 , Y 2 = 0,9025 ? Isso é preocupante?

Passo 1

a .   C o v ⁡ ( X , Y ) = C o v ⁡ ( A + D , B + E ) = C o v ⁡ ( A , B ) + C o v ⁡ ( D , B ) + C o v ⁡ ( A , E ) + C o v ⁡ ( D , E ) = C o v ⁡ ( A , B ) .   Portanto

C o r r ⁡ ( X , Y ) = C o v ⁡ ( A , B ) σ A 2 + σ D 2 ⋅ σ B 2 + σ E 2 = C o v ⁡ ( A , B ) σ A σ B ⋅ σ A σ A 2 + σ D 2 ⋅ σ B σ B 2 + σ E 2

O primeiro fator nesta expressão é C o r r ⁡ ( A , B ) , e (pelo resultado do exercício 70a) o segundo e terceiro fatores são as raízes quadradas de X 1 , X 2 e C o r r ⁡ Y 1 , Y 2 , respectivamente. Claramente, o erro de medição reduz a correlação, uma vez que ambos os fatores de raiz quadrada estão entre 0 e 1

Passo 2

b.  . 8100 ⋅ . 9025 = . 855 . Isso é preocupante, porque o erro de medição reduz substancialmente a correlação.

Resposta

a . o erro de medição reduz a correlação, uma vez que ambos os fatores de raiz quadrada estão entre 0 e 1

b. 855 . Isso é preocupante, porque o erro de medição reduz substancialmente a correlação.

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