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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 53

Um sistema paralelo funciona sempre que pelo menos um de seus componentes funcione. Considere um sistema paralelo de n componentes, e suponha que cada componente trabalhe independentemente com probabilidade 1/2. Determine a probabilidade condicional de que o componente 1 funcione dado que o sistema está funcionando.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos identificar o seguinte evento:

E i = O   i - é s i m o   c o m p o n e n t e   q u e   e s t e j a   f u n c i o n a n d o

E vamos lembrar que estes eventos são independentes, então para cada subconjunto de eventos ( E 1 ' , E 2 ' , … , E k ' ) para k ≤ n . Com isso, nós temos as seguintes probabilidades

P E 1 ' E 2 ' ∙ … ∙ E k ' = P E 1 ' P E 2 ' ∙ … ∙ P ( E k ' )

Como componente teórico, esta formulação ainda vai ser verdadeira se colocamos o complementar nesse processo, ou seja, E i ' por E i ' C

Passo 2

Como são eventos são independentes, temos que a união desses eventos são todo o espaço amostral, e como esse sistema trabalha dessa forma, podemos aplicar algo como os teoremas de DeMorgan, que para a união de eventos, é algo do tipo

E 1 ∪ E 2 ∪ … E n   = E 1 C E 2 C … E n C C     ( D e M o r g a n )

O que nós queremos calcular, é justamente a probabilidade condicional desse conjunto de uniões para o evento 1, ou seja, P ( E 1 | E 1 ∪ E 2 ∪ … E n ) . Então, vamos lá 😊

Passo 3

Usando a definição de probabilidade condicional, nós temos que:

P E 1 E 1 ∪ E 2 ∪ … E n = P E 1 P E 1 ∪ … ∪ E n

A probabilidade do numerador é conhecida, P E 1 = 1 2 , e para o denominador, nós temos que

P E 1 ∪ … ∪ E n = P E 1 C E 2 C ∙ … ∙ E n C C

Usando a propriedade do complementar, nós obtemos o seguinte resultado

P E 1 ∪ … ∪ E n = 1 - P E 1 C E 2 C ∙ … ∙ E n C

Desenvolvendo esse termo

P E 1 ∪ … ∪ E n = 1 - P E 1 C P E 2 C ∙ … ∙ P E n

Substituindo os valores, nós temos

P E 1 ∪ … ∪ E n = 1 - 1 2 ∙ 1 2 … 1 2

Isso nos dá o seguinte valor

P E 1 ∪ … ∪ E n = 2 n - 1 2 n

Agora, é somente substituir na probabilidade condicional

P E 1 E 1 ∪ E 2 ∪ … E n = 1 2 2 n - 1 2 n = 2 n - 1 2 n - 1

Resposta

P E 1 E 1 ∪ E 2 ∪ … E n =   2 n - 1 2 n - 1  

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