Supondo populações normais, determinar o intervalo de confiança para a variância dos seguintes conjuntos de dados, para 99% de confiança:

  1. 1,19; 1,23; 1,18; 1,21; 1,27; 1,17; 1,15; 1,14; 1,19; 1,20.

Passo 1

Oi galerinha, estou animada pra fazer este exercício com vocês. Vem comigo!

Vamos relembrar que o intervalo de confiança é um intervalo em torno da estimativa por ponto, de modo que esse intervalo tenha uma probabilidade conhecida (que é designada por 1 - α ) de conter o verdadeiro valor do parâmetro. O valor da probabilidade ( 1 - α ), que usualmente assume os valores 90%, 95%, 98%, etc., é denominado nível de confiança e o valor α é chamado nível de significância.

Para o intervalo de confiança para a variância ( σ 2 ) de uma população normal. Tendo X uma população com distribuição normal de média μ e variância σ 2 . Sabe-se, pelo teorema de Fisher:

χ n - 1 2 = S 2 ∙ ( n - 1 ) σ 2

Então:

χ 1 2 ≤ χ 2 ≤ χ 2 2

Sendo assim, temos o seguinte intervalo de confiança:

S 2 ∙ ( n - 1 ) χ s u p 2 ≤ σ 2 ≤ S 2 ∙ ( n - 1 ) χ i n f 2

Onde χ i n f 2 = χ 1 2 = χ ( 1 - α / 2 ) 2 χ s u p 2 = χ 2 2 = χ α / 2 2               , ambos para ϕ = n - 1 graus de liberdade.

Para encontrarmos o intervalo de confiança, precisamos calcular a média e a variância amostral, onde n = 10 . Para a média:

X - = ∑ X i n = 1 , 1 9 + 1,23 + 1,18 + 1,21 + 1,27 + 1,17 + 1,15 + 1,14 + 1,19 + 1,20 10 = 1,193

Para a variância, temos a seguinte equação:

S 2 = ∑ X i - X - 2 n - 1

Então:

S 2 = 0 , 013010 10 - 1 = 0 , 00145

Passo 2

Além disso, queremos o nível de confiança de 99% ( α = 0,01 ) com ϕ = 9 , temos:

  • α / 2 = 0,005 limite superior;
  • 1 - α / 2 = 0,995 limite inferior.

χ i n f 2 = 1,735

χ s u p 2 = 23,589

Passo 3

Então temos os seguintes dados:

  • χ i n f 2 = 1,735 ;
  • χ s u p 2 = 23,589 ;
  • S 2 = 0 , 00145 .

Sendo assim, para o nível de confiança de 99%:

0 , 00145 ∙ ( 10 - 1 ) 23,589 ≤ σ 2 ≤ 0 , 00145 ∙ ( 4 - 1 ) 1,735

0,0 005 ≤ σ 2 ≤ 0,0075

Tchau galerinha! Te espero em mais exercícios.

Resposta

0,0 00 5 ≤ σ 2 ≤ 0 , 0075 .

Exercícios de Livros Relacionados