Enunciado

Suponha que um baralho comum de 52 cartas seja embaralhado e que suas cartas sejam então viradas uma a uma até que o primeiro ás apareça. Dado que o primeiro ás é a vigésima carta a aparecer, qual é a probabilidade condicional de que a carta seguinte seja o

(a) ás de espadas?

(b) dois de paus?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Todas as cartas são retiradas aleatoriamente de um baralho de 52 cartas, então vamos considerar os seguintes eventos

A - O   p r i m e i r o   á s   é   a   v i g é s i m a   c a r t a

B - A   21 °   c a r t a   é   u m   á s   d e   e s p a d a

C - A   21 °   c a r t a   é   u m   d o i s   d e   p a u s

Vamos calcular as seguintes probabilidades

a )   P ( B | A )

b )   P ( C | A )

Passo 2

A - Todas as 52! permutações das cartas são igualmente prováveis, no evento A, o número de permutações diferentes é igual a | A | , então, vamos pensar um pouco, a primeira carta pode ser qualquer uma das 48 cartas sem ás, a segunda pode ser qualquer uma das 47 cartas sem ás (e não a primeira carta), e assim sucessivamente, matematicamente falando, temos algo do tipo

48 ∙ 47 ∙ … ∙ 30 = 48 ! 29 !   j e i t o s   d i f e r e n t e s

Então um ás pode ser escolhido de 4 maneiras. As 32 cartas restantes podem ser permutadas em 32 ! jeitos.

Já no evento B ∩ A , temos que o número de permutações A B é basicamente o mesmo raciocínio da parte anterior, as primeiras 19 cartas podem ser quaisquer cartas que não sejam ás, e a ordem importa, com isso, nós temos

48 ! 29 !

No evento C ∩ A , o número de permutações | A C | é: As primeiras 19 cartas podem ser quaisquer cartas que não sejam ás que também não sejam duas de paus, então há 47 opções para a primeira carta, 46 para a segunda e assim por diante, com isso, temos

47 ! 28 !

A vigésima carta pode ser uma das quatro cartas. A 21ª carta é o dois de paus, e as 31 cartas restantes podem ser trocadas em 31! jeitos

Passo 3

Pela definição de probabilidade, nós temos que

P B A = A B A = 48 ! 29 ! ∙ 3 ∙ 1 ∙ 31 ! 48 ! 29 ! ∙ 4 ∙ 32 !

Com isso, nós obtemos o seguinte resultado

P B A = 3 4 ∙ 32 = 3 128

O que dá aproximadamente

P B A ≈ 2,34 %

Passo 4

B – Para a probabilidade de P C A , mesmo raciocínio

P C A = A C A = 47 ! 28 ! ∙ 4 ∙ 1 ∙ 31 ! 48 ! 29 ! ∙ 4 ∙ 32 !

Com isso, nós temos que

P C A = 1 48 29 ∙ 32 = 29 1536

O que nos dá aproximadamente

P C A ≈ 1,89 %

Resposta

a )   2,34 %

b )   1,89 %

Exercícios de Livros Relacionados

Estenda a definição da independência condicional a mais de 2 eventos.
Demonstre a equivalência das Equações (5.11) e (5.12)
Tentativas independentes com probabilidade de sucesso p e probabilidade de fracasso 1-p são chamadas de tentativas de Bernoulli. Seja P n a probabilidade de que n tentativas de Bernoulli resultem em u
Demonstre diretamente que P E F = P E F G P G F + P E F G c P ( G c | F )
(a) Uma urna contém n bolas brancas e m bolas pretas. As bolas são retiradas uma de cada vez até que somente aquelas de mesma cor sejam deixadas. Mostre que, com probabilidade n/(n + m), todas elas sã