Enunciado
Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 58
Suponha que queiramos gerar o resultado da jogada de uma moeda honesta, mas que tudo o que tenhamos a nossa disposição seja uma moeda viciada que dá cara com alguma probabilidade desconhecida p diferente de 1/2. Considere o seguinte procedimento para realizar nossa tarefa:
1. Jogue a moeda.
2. Jogue a moeda de novo.
3. Se ambas as jogadas resultarem em duas caras ou duas coroas, volte para o passo 1.
4. Deixe que o resultado da última jogada seja o resultado do experimento.
(a) Mostre que o resultado tem a mesma probabilidade de dar cara ou coroa.
(b) Poderíamos usar um procedimento mais simples no qual continuamos a lançar a moeda até que as duas últimas jogadas sejam diferentes e então deixamos com que o resultado seja aquele obtido na última jogada?
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Vamos assumir que a moeda tem a seguinte probabilidade para cara
E para coroa, nós teremos o complementar da probabilidade anterior, com isso, nós temos que
Obviamente, nós estamos entendendo esses eventos como independentes, e por isso, seguem essa propriedade aqui
Dada essa introdução, podemos partir para as letras do enunciado, vamos lá!! 😊
Passo 2
A - A primeira maneira de pensar leva o resultado do segundo lance se dois forem diferentes. A probabilidade de obter caras dessa maneira é:
Simplificando esta probabilidade, nós obtemos a seguinte configuração
Agora, o ponto é somente substituir esses valores, que nós já encontramos
Desenvolvendo este termo, nós temos que
A probabilidade de dar cara é de 50%, o que indica que a moeda é justa.
Passo 3
B - Este método pega o resultado do primeiro lançamento de moeda que ainda não foi visto. Então, se os lançamentos são cara, cara, cara, coroa, o final é coroa. Isso significa que coroa é o resultado se e somente se o primeiro lançamento for cara, então o primeiro resultado diferente for coroa.
Agora o resultado tem distribuição P(coroa) = p e P(cara) = 1-p. Reverso da distribuição da moeda