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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 33

Suponha que X tenha uma distribuição contínua uniforme no intervalo [ - 1 ;   1 ] .

  1. Determine a média, a variância e o desvio-padrão de X .
  2. Determine o valor de x , tal que P ( - x < X < x ) - 0.90 .
  3. Determine a função de distribuição cumulativa.

Passo 1

Seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme contínua no intervalo [ - 1,1 ] . Usando a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua:

f ( x ) = 1 1 - ( - 1 ) = 1 2 ,   - 1 < x < 1

Passo 2

Suponha que X seja uma variável aleatória contínua, com uma função densidade de probabilidade f ( x ) . A média, ou o valor esperado de X , denotados por μ ou E ( X ) , são:

μ = E ( X ) = ∫ - ∞ ∞ x f ( x ) d x

A variância de X , denotada por V ( X ) ou σ 2 é:

σ 2 = V ( X ) = ∫ - ∞ ∞ ( x - μ ) 2 f ( x ) d x = ∫ - ∞ ∞ x 2 f ( x ) d x - μ 2

O desvio padrão de X é:

σ = V ( X )

Sabendo disso, vamos calcular o que se pede:

E ( X ) = - 1 + 1 2 = 0

V a r ( X ) = ( 1 - ( - 1 ) ) 2 12 = 1 3

S t d ( X ) = 1 3 = 3 3

Passo 3

Na letra b:

P ( - x < X < x ) = ∫ - x x 1 2 d x = 1 2 × 2 x = x

Então, definindo P ( - x < X < x ) = 0.9

temos:

x = 0.9

Passo 4

Na letra c:

F ( x ) = 0 ,   x ≤ 1

F ( x ) = x - ( - 1 ) 1 - ( - 1 ) = x + 1 2 , - 1 <   x < 1

F ( x ) = 1 ,   x ≥ 1

Resposta

  1. Média= 0, Variância = ⅓, Desvio Padrão = 3 3
  2. 0.9
  3. F ( x ) = 0 ,   x ≤ 1

F ( x ) = x - ( - 1 ) 1 - ( - 1 ) = x + 1 2 , - 1 <   x < 1

F ( x ) = 1 ,   x ≥ 1

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