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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 16

Suponha que você esteja inspecionando um lote de mil lâmpadas, entre as quais há 20 defeituosas. Escolha duas lâmpadas aleatoriamente desse lote sem repô-las. Seja

X 1 = 1 ,       s e   a   p r i m e i r a   l â m p a d a   f o r   d e f e i t u o s a , 0 ,       s e   n ã o   o   f o r .

X 2 = 1 ,       s e   a   s e g u n d a   l â m p a d a   f o r   d e f e i t u o s a , 0 ,     s e   n ã o   o   f o r .

Determine a probabilidade de que pelo menos uma lâmpada escolhida seja defeituosa. (Sugestão: Calcule P(X1+X2) = 1.)

Passo 1

Fala galera, mais um exercício de probabilidade por aqui, vamos resolver!

O exercício nos pede a probabilidade de que pelo menos uma lâmpada seja defeituosa.

Isto é, P X 1 + X 2 = 1 = P X 1 = 1 , X 2 = 0 + P ( X 1 = 0 , X 2 = 1 )

Que são os casos em que:

A primeira é defeituosa e a segunda não o é

A segunda é defeituosa e a primeira não o é.

Passo 2

Agora que temos um norte a se seguir, vamos procurar quanto é P X 1 = 1 , X 2 = 0 + P ( X 1 = 0 , X 2 = 1 ) que assim o exercício já está resolvido.

Primeiro trabalharemos com P X 1 = 1 , X 2 = 0

Queremos que a primeira lâmpada seja defeituosa e a segunda não seja, para isso temos:

P X 1 = 1 , X 2 = 0 = 980 1 20 1 1000 2

Traduzindo da matemática para o nosso português claro, é exatamente a probabilidade de retirar uma lâmpada que funciona perfeitamente, vezes a probabilidade de retirar uma lâmpada quebrada dentre as possíveis. Os termos de combinação aparecem pois há diversas combinações de se fazer isso.

Aplicando a mesma ideia para P ( X 1 = 0 , X 2 = 1 )

Temos que:

P X 1 = 0 , X 2 = 1 = 20 1 980 1 1000 2

Ou seja, é P X 1 = 1 , X 2 = 0 = P X 1 = 0 , X 2 = 1

Logo, basta calcularmos 2 × P X 1 = 0 , X 2 = 1 e obteremos o resultado que queremos

Passo 3

Resolvendo, temos:

P X 1 = 0 , X 2 = 1 = 20 × 19 ! 19 ! × 980 × 979 ! 979 ! 1000 × 999 × 998 ! 998 ! 2 ! = 0,0392

Como queremos 2 × P X 1 = 0 , X 2 = 1 = 2 0,0392 = 0,0784

Resposta

A probabilidade de que pelo menos uma lâmpada escolhida seja defeituosa é 0,0784.

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