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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 27

O tempo até a falha, em horas, de uma importante parte de um equipamento eletrônico usado na fabricação de um aparelho de DVD tem como função de densidade

f x = 1 2000 exp ⁡ - x 2000 ,             x ≥ 0 0 ,                                                                                   x < 0

(a) Determine F ( x ) .

(b) Determine a probabilidade de que o componente (e, consequentemente, o aparelho de DVD) dure mais do que mil horas antes que o componente tenha de ser substituído.

(c) Determine a probabilidade de que o componente falhe antes de 2000 horas.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Vamos usar X para representar o tempo até a falha em horas da peça do equipamento.

Pela definição de distribuição acumulada, nós temos que:

F x = P X ≤ x = ∫ - ∞ x f ( t ) d t

Então, bora para os cálculos!!

Passo 2

Calculando a função de distribuição acumulada pela fórmula do Passo 1.

F x = ∫ - ∞ x f ( t ) d t

= ∫ 0 x 1 2000 e - t 2000 d t + ∫ - ∞ 0 0 d t

= - e - t 2000 0 x + 0

= - e - x 2000 + e 0

F x = 1 - e - x 2000

Sendo a equação válida para todo x maior ou igual a 0 .

Passo 3

O enunciado nos pede a probabilidade que o componente dure mais do que 1000 horas. Logo, queremos encontrar P ( X > 1000 ) .

Usando complemento, temos a seguinte relação:

P X > 1000 = 1 - P ( X ≤ 1000 )

= 1 - F ( 1000 )

= 1 - 1 - e - 1000 2000

= 1 - 1 + e - 1 / 2

P X > 1000 = 0,6065

Passo 4

Por fim, queremos a probabilidade de o componente durar menos de 2000 horas. Como a função é contínua, a relação abaixo é válida.

P X < 2000 = P ( X ≤ 2000 )

= F ( 2000 )

= 1 - e - 2000 2000

= 1 - 1 e

P X < 2000 = 0,6321

Resposta

(a) 1 - e x 2000

(b) 0,6065

(c) 0,6321

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